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求函数z=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值.
求函数z=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值.
admin
2016-10-20
55
问题
求函数z=x
2
y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值.
选项
答案
区域D如图4.1所示,它是有界闭区域.z(x,y)在D上连续,所以在D上一定有最大值与最小值,或在D内的驻点达到,或在D的边界上达到. [*] 为求D内驻点,先求 [*]=2xy(4-x-y)-x
2
y=xy(8-3x-2y), [*]=x
2
(4-x-y)-x
2
y=x
2
(4-x-2y). 再解方程组 [*] 得z(x,y)在D内有唯一驻点(x,y)=(2,1)且z(2,1)=4. 在D的边界y=0,0≤x≤6或x=0,0≤y≤6上z(x,y)=0; 在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6-x代入得 z=x
2
(6-x)(-2)=2(x
3
-6x
2
),0≤x≤6, 令h(x)=2(x
3
-6x
2
),则 h’(x)=6(x
2
-4x),h’(4)=0,h(0)=0,h(4)=-64,h(6)=0, 即z(x,y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0,最小值为-64. 因此,[*]=z(4,2)=-64.
解析
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考研数学三
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