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  3. 求函数z=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．

求函数z=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．

admin2016-10-20  53
问题 求函数z=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．
选项
答案区域D如图4．1所示，它是有界闭区域．z(x，y)在D上连续，所以在D上一定有最大值与最小值，或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到． [*] 为求D内驻点，先求 [*]=2xy(4-x-y)-x2y=xy(8-3x-2y)， [*]=x2(4-x-y)-x2y=x2(4-x-2y)． 再解方程组 [*] 得z(x，y)在D内有唯一驻点(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4． 在D的边界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0； 在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6-x代入得 z=x2(6-x)(-2)=2(x3-6x2)，0≤x≤6， 令h(x)=2(x3-6x2)，则 h’(x)=6(x2-4x)，h’(4)=0，h(0)=0，h(4)=-64，h(6)=0， 即z(x，y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0，最小值为-64． 因此，[*]=z(4，2)=-64．
解析
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考研数学三

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