已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为√3,右准线方程为x=. 设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0,y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.

admin2019-06-01  30

问题 已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为√3,右准线方程为x=.
设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0,y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.

选项

答案点P(x0,y0)(x0y0≠0)在圆x2+y2=2上,圆在点P(x0,y0)处的切线l的方程为y-y0=-[*](x-x0), 化简得x0x+y0y=2,由[*]及x02+y02=2得(3x02一4)x2-4x0x+8-2x02=0.因为切线l与双曲线C交于不同的两点A,B,且0<x<2,所以3x02-4不到≠0,且△=16x02-4(3x02-4)(8-2x02)>0. 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=[*],x1x2=[*]因为cos∠AOB=[*] =x1x2+y1y2=x1x2+[*](2-x0x1)(2-x0x2)=x1x2+[*][4-2x0(x1+x2)+x02x1x2]=[*]=0,所以∠AOB的大小为90°.

解析
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