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已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的离心率为√3，右准线方程为x=. 设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P(x0，y0)(x0,y0≠0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．
已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的离心率为√3，右准线方程为x=. 设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P(x0，y0)(x0,y0≠0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．
admin
2019-06-01
73
问题
已知双曲线C：
=1(a＞0，b＞0)的离心率为√3，右准线方程为x=
.
设直线l是圆O：x
2
+y
2
=2上动点P(x
0
，y
0
)(x
0
,y
0
≠0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．
选项
答案
点P(x
0
，y
0
)(x
0
y
0
≠0)在圆x
2
+y
2
=2上，圆在点P(x
0
，y
0
)处的切线l的方程为y－y
0
=－[*](x－x
0
)， 化简得x
0
x+y
0
y=2，由[*]及x
0
2
+y
0
2
=2得(3x
0
2
一4)x
2
－4x
0
x+8－2x
0
2
=0．因为切线l与双曲线C交于不同的两点A，B，且0＜x＜2，所以3x
0
2
－4不到≠0，且△=16x
0
2
－4(3x
0
2
－4)(8－2x
0
2
)＞0． 设A，B两点的坐标分别为(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，则x
1
+x
2
=[*],x
1
x
2
=[*]因为cos∠AOB=[*] =x
1
x
2
+y
1
y
2
=x
1
x
2
+[*](2－x
0
x
1
)(2－x
0
x
2
)=x
1
x
2
+[*][4－2x
0
(x
1
+x
2
)+x
0
2
x
1
x
2
]=[*]=0，所以∠AOB的大小为90°．
解析
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0
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