2. 公务员
  3. 已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的离心率为√3，右准线方程为x=. 设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P(x0，y0)(x0,y0≠0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．

已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的离心率为√3，右准线方程为x=. 设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P(x0，y0)(x0,y0≠0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．

admin2019-06-01  51
问题 已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的离心率为√3，右准线方程为x=.
设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P(x0，y0)(x0,y0≠0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．
选项
答案点P(x0，y0)(x0y0≠0)在圆x2+y2=2上，圆在点P(x0，y0)处的切线l的方程为y－y0=－[*](x－x0)， 化简得x0x+y0y=2，由[*]及x02+y02=2得(3x02一4)x2－4x0x+8－2x02=0．因为切线l与双曲线C交于不同的两点A，B，且0＜x＜2，所以3x02－4不到≠0，且△=16x02－4(3x02－4)(8－2x02)＞0． 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2=[*],x1x2=[*]因为cos∠AOB=[*] =x1x2+y1y2=x1x2+[*](2－x0x1)(2－x0x2)=x1x2+[*][4－2x0(x1+x2)+x02x1x2]=[*]=0，所以∠AOB的大小为90°．
解析
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