2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[1，3]上连续，在区间(1，3)内二阶可导，且f(1)=f(3)．证明：存在ξ∈(0，3)，使λf’(ξ)+f”(ξ)=0，其中λ是常数．

设函数f(x)在区间[1，3]上连续，在区间(1，3)内二阶可导，且f(1)=f(3)．证明：存在ξ∈(0，3)，使λf’(ξ)+f”(ξ)=0，其中λ是常数．

admin2020-09-23  26
问题 设函数f(x)在区间[1，3]上连续，在区间(1，3)内二阶可导，且f(1)=f(3)．证明：存在ξ∈(0，3)，使λf’(ξ)+f”(ξ)=0，其中λ是常数．
选项
答案因为[*]所以 [*] 从而3+f(1)=1，f(1)=一2． [*] 而 [*] 故f’(1)=0． 又因为f(x)满足：①在[1，3]上连续；②在(1，3)内可导；③f(1)=f(3)，由罗尔定理，存在ξ1∈(1，3)，使得f’(ξ1)=0．令F(x)=f’(x)eλx，则F’(x)=[f”(x)+λf’(x)]eλx． F(x)满足：①在[1，ξ1]上连续；②在(1，ξ1)内可导；③F(1)=F(ξ1)=0，故由罗尔定理，存在ξ∈(1，ξ1)[*](0，3)，使得F’(ξ)=[f”(ξ)+λf’(ξ)]eλξ=0，即κf’(ξ)+f”(ξ)=0．
解析
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考研数学一

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