设函数f(x)在区间[1,3]上连续,在区间(1,3)内二阶可导,且f(1)=f(3).证明:存在ξ∈(0,3),使λf’(ξ)+f”(ξ)=0,其中λ是常数.

admin2020-09-23  17

问题 设函数f(x)在区间[1,3]上连续,在区间(1,3)内二阶可导,且f(1)=f(3).证明:存在ξ∈(0,3),使λf’(ξ)+f”(ξ)=0,其中λ是常数.

选项

答案因为[*]所以 [*] 从而3+f(1)=1,f(1)=一2. [*] 而 [*] 故f’(1)=0. 又因为f(x)满足:①在[1,3]上连续;②在(1,3)内可导;③f(1)=f(3),由罗尔定理,存在ξ1∈(1,3),使得f’(ξ1)=0.令F(x)=f’(x)eλx,则F’(x)=[f”(x)+λf’(x)]eλx. F(x)满足:①在[1,ξ1]上连续;②在(1,ξ1)内可导;③F(1)=F(ξ1)=0,故由罗尔定理,存在ξ∈(1,ξ1)[*](0,3),使得F’(ξ)=[f”(ξ)+λf’(ξ)]eλξ=0,即κf’(ξ)+f”(ξ)=0.

解析
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