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设2阶矩阵A有两个不同特征值,α1,α2是A的线性无关的特征向量,且满足A2(α1+α2)=α1+α2,则|A|=___________.
设2阶矩阵A有两个不同特征值,α1,α2是A的线性无关的特征向量,且满足A2(α1+α2)=α1+α2,则|A|=___________.
admin
2019-05-22
68
问题
设2阶矩阵A有两个不同特征值,α
1
,α
2
是A的线性无关的特征向量,且满足A
2
(α
1
+α
2
)=α
1
+α
2
,则|A|=___________.
选项
答案
一1.
解析
设2阶矩阵A的两个不同特征值为λ
1
,λ
2
,则这两个特征值都是A的单特征值,因为属于单特征值的线性无关特征向量只有1个.故α
k
是属于λ
k
(k=1,2)的特征向量.于是有
Aα
k
=λ
k
α
k
,A
2
α
k
=λ
k
2
α
k
(k=1,2),
从而有 A
2
(α
1
+α
2
)=A
2
α
1
+A
2
α
2
=λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
,
由已知条件得 A
2
(α
1
+α
2
)=λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
=α
1
+α
2
,
或 (λ
1
2
一1)α
1
+(λ
2
2
一1)α
2
=0,
因为α
1
,α
2
线性无关,得λ
1
2
一1=0,λ
1
2
一1=0,→λ
1
=1.λ
2
=一1,或λ
1
=一1,λ
2
=1,
于是由特征值的性质得|A|=λ
1
λ
2
=一1.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/q2c4777K
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考研数学一
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