设2阶矩阵A有两个不同特征值,α1,α2是A的线性无关的特征向量,且满足A2(α1+α2)=α1+α2,则|A|=___________.

admin2019-05-22  28

问题 设2阶矩阵A有两个不同特征值,α1,α2是A的线性无关的特征向量,且满足A212)=α12,则|A|=___________.

选项

答案一1.

解析 设2阶矩阵A的两个不同特征值为λ1,λ2,则这两个特征值都是A的单特征值,因为属于单特征值的线性无关特征向量只有1个.故αk是属于λk(k=1,2)的特征向量.于是有
    Aαkkαk,A2αkk2αk(k=1,2),
从而有  A212)=A2α1+A2α212α122α2
由已知条件得  A212)=λ12α122α212
或    (λ12一1)α1+(λ22一1)α2=0,
因为α1,α2线性无关,得λ12一1=0,λ12一1=0,→λ1=1.λ2=一1,或λ1=一1,λ2=1,
于是由特征值的性质得|A|=λ1λ2=一1.
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