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设2阶矩阵A有两个不同特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且满足A2(α1+α2)=α1+α2，则｜A｜=___________．
设2阶矩阵A有两个不同特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且满足A2(α1+α2)=α1+α2，则｜A｜=___________．
admin
2019-05-22
72
问题
设2阶矩阵A有两个不同特征值，α
1
，α
2
是A的线性无关的特征向量，且满足A
2
(α
1
+α
2
)=α
1
+α
2
，则｜A｜=___________．
选项
答案
一1．
解析
设2阶矩阵A的两个不同特征值为λ
1
，λ
2
，则这两个特征值都是A的单特征值，因为属于单特征值的线性无关特征向量只有1个．故α
k
是属于λ
k
(k=1，2)的特征向量．于是有
Aα
k
=λ
k
α
k
，A
2
α
k
=λ
k
2
α
k
(k=1，2)，
从而有 A
2
(α
1
+α
2
)=A
2
α
1
+A
2
α
2
=λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
，
由已知条件得 A
2
(α
1
+α
2
)=λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
=α
1
+α
2
，
或 (λ
1
2
一1)α
1
+(λ
2
2
一1)α
2
=0，
因为α
1
，α
2
线性无关，得λ
1
2
一1=0，λ
1
2
一1=0，→λ
1
=1．λ
2
=一1，或λ
1
=一1，λ
2
=1，
于是由特征值的性质得｜A｜=λ
1
λ
2
=一1．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/q2c4777K
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考研数学一
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