2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上存在二阶导数，且g〞(x)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝0， 在开区间(a，b)内至少存在一点ε，使得f(ξ)/g(ξ)=f"(ξ)/g"(ξ).

设f(x)，g(x)在[a，b]上存在二阶导数，且g〞(x)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝0， 在开区间(a，b)内至少存在一点ε，使得f(ξ)/g(ξ)=f"(ξ)/g"(ξ).

admin2017-08-28  23
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上存在二阶导数，且g〞(x)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝0，
在开区间(a，b)内至少存在一点ε，使得f(ξ)/g(ξ)=f"(ξ)/g"(ξ).
选项
答案在开区间(a，b)内至少存在一点ε，使得f(ξ)/g(ξ)=f"(ξ)/g"(ξ) 设F(x)＝f(x)gˊ(x)-fˊ(x)g(x)，易知 F(a)＝f(a)gˊ(a)-fˊ(a)g(a)＝0， F(b)＝f(b)gˊ(b)-fˊ(b)g(b)＝0，在[a，b]上对F(x)用罗尔定理， 必存在ε∈(a，b)，使fˊ(ε)＝0 Fˊ(ε)＝Fˊ(x)｜x＝ε＝[fˊ(x)gˊ(x)+f(x)g〞(x)-f〞(x)g(x)-fˊ(x)gˊ(x)]｜x＝ε ＝[f(x)g〞(x)-f〞(x)g(x)]｜x＝ε＝f(ε)g〞(ε)-f〞(ε)g(ε)＝0 又因为g(ε)≠0，g〞(ε)≠0 所以 f(ξ)/g(ξ)=f"(ξ)/g"(ξ) ε∈(a，b)
解析
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考研数学一

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