设f(x),g(x)在[a,b]上存在二阶导数,且g〞(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0, 在开区间(a,b)内至少存在一点ε,使得f(ξ)/g(ξ)=f"(ξ)/g"(ξ).

admin2017-08-28  26

问题 设f(x),g(x)在[a,b]上存在二阶导数,且g〞(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,
在开区间(a,b)内至少存在一点ε,使得f(ξ)/g(ξ)=f"(ξ)/g"(ξ).

选项

答案在开区间(a,b)内至少存在一点ε,使得f(ξ)/g(ξ)=f"(ξ)/g"(ξ) 设F(x)=f(x)gˊ(x)-fˊ(x)g(x),易知 F(a)=f(a)gˊ(a)-fˊ(a)g(a)=0, F(b)=f(b)gˊ(b)-fˊ(b)g(b)=0,在[a,b]上对F(x)用罗尔定理, 必存在ε∈(a,b),使fˊ(ε)=0 Fˊ(ε)=Fˊ(x)|x=ε=[fˊ(x)gˊ(x)+f(x)g〞(x)-f〞(x)g(x)-fˊ(x)gˊ(x)]|x=ε =[f(x)g〞(x)-f〞(x)g(x)]|x=ε=f(ε)g〞(ε)-f〞(ε)g(ε)=0 又因为g(ε)≠0,g〞(ε)≠0 所以 f(ξ)/g(ξ)=f"(ξ)/g"(ξ) ε∈(a,b)

解析
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