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[发现证明] 如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,试判断BE,EF,FD之间的数量关系。 峰峰把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,通过证明△AEF≌△AGF,从而发现并证明了EF=BE+FD。 [类比
[发现证明] 如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,试判断BE,EF,FD之间的数量关系。 峰峰把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,通过证明△AEF≌△AGF,从而发现并证明了EF=BE+FD。 [类比
admin
2019-04-05
41
问题
[发现证明]
如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,试判断BE,EF,FD之间的数量关系。
峰峰把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,通过证明△AEF≌△AGF,从而发现并证明了EF=BE+FD。
[类比引申]
(1)如图2,点E,F分别在正方形ABCD的边CB,CD的延长线上,∠EAF=45°,连结EF,请根据峰峰的发现给你的启示写出EF,BE,DF之间的数量关系,并证明;
[联想拓展]
(2)如图3,∠BAC=90°,AB=AC,点E,F在边BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的长。
选项
答案
(1)DF=EF+BE。 [*] 证明:∵AB=AD, ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,∠EAG=∠BAD=90°, ∵∠ADC=∠ABE=90°,∴点C,D,G在一条直线上, ∴EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD, ∵∠BAG+∠GAD=90°. ∵∠EAF=45°,∴∠FAG=∠EAG一∠EAF=90°一45°=45°, ∴∠EAF=∠GAF, 在△EAF和△GAF中[*], ∴△EAF≌△GAF,∴EF=FG, ∵FD=FG+DG,∴DF=EF+BE。 (2)∵∠BAC=90°,AB=AC. ∴将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACG,连结FG,如图, [*] 则AG=AE,CG=BE,∠ACG=∠B,∠EAG=90°, ∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°, ∴FG
2
=FC
2
+CG
2
=BE
2
+FC
2
, 又∵∠EAF=45°,而∠EAG=90°, ∴∠GAF=90°一45°=45°, ∠△AGF与△AEF中[*] ∴△AGF≌△AEF,∴EF=FG。 ∴CF
2
=EF
2
一BE
2
=5
2
一3
2
=4
2
, ∴CF=4。
解析
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