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已知f(χ)是定义R上的单调递减的可导函数,且f(1)=∫0χ函数F(χ)=∫0χf(t)dt-χ2-1. (1)判别曲线y=F(χ)在R上的凹凸性,并说明理由; (2)证明:方程F(χ)=0在区间(0,1)内有且仅有一个实根.
已知f(χ)是定义R上的单调递减的可导函数,且f(1)=∫0χ函数F(χ)=∫0χf(t)dt-χ2-1. (1)判别曲线y=F(χ)在R上的凹凸性,并说明理由; (2)证明:方程F(χ)=0在区间(0,1)内有且仅有一个实根.
admin
2017-03-18
50
问题
已知f(χ)是定义R上的单调递减的可导函数,且f(1)=∫
0
χ
函数F(χ)=∫
0
χ
f(t)dt-χ
2
-1.
(1)判别曲线y=F(χ)在R上的凹凸性,并说明理由;
(2)证明:方程F(χ)=0在区间(0,1)内有且仅有一个实根.
选项
答案
(1)∵F′(χ)=f(χ)-2χ,F〞(χ)=f′(χ)-2,且由题意知f′(χ)≤0(χ∈R), ∴F〞(χ)<0(χ∈R), 故曲线y=F(χ)在R上是凸的. (2)显然F(χ)在[0,1]上连续,且F(0)=-1<0, F(1)=∫
0
1
f(t)dt-2>∫
0
1
2dt-2=0, ∴方程F(χ)=0在区间(0,1)内至少有一个实根. 由F〞(χ)<0知F′(χ)在R上单调递减, ∴χ<1时,有F′(χ)>F′(1)=f(1)-2=0, 由此知F(χ)在(0,1)内单调递增, 因此方程F(χ)=0在(0,1)内至多只有一个实根, 故方程F(χ)=0在区间(0,1)内有且仅有一个实根.
解析
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数学题库普高专升本分类
0
数学
普高专升本
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