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考研
设n维列向量组α1,...αm(m
设n维列向量组α1,...αm(m
admin
2019-05-15
42
问题
设n维列向量组α
1
,...α
m
(m
1,β
2
,...,β
m
线性无关的充分必要条件为
选项
A、向量组α
1
,...α
m
可由向量β
1
,β
2
,...,β
m
线性表示.
B、向量组α
1
,...α
m
可由向量β
1
,β
2
,...,β
m
线性表示.
C、向量组α
1
,...α
m
与向量组β
1
,β
2
,...,β
m
等价.
D、矩阵A=(α
1
,...α
m
)与矩阵B=(β
1
,β
2
,...,β
m
)等价.
答案
D
解析
向量组β
1
,β
2
,...,β
m
线性无关 向量组的秩r(β
1
,β
2
,...,β
m
)=m.
根据定理“若α
1
,...α
m
,可由β
1
,β
2
,...,β
m
线性表出,则r(α
1
,...α
m
)≤r(β
1
,β
2
,...,β
m
)”.
若α
1
,...α
m
可由β
1
,β
2
,...,β
m
线性表示,则有r(α
1
,...α
m
)≤r(β
1
,β
2
,...,β
m
).
又因α
1
,...α
m
线性无关,知r(α
1
,...α
m
)=m.从而m≤r(β
1
,β
2
,...,β
m
).
又因β
1
,β
2
,...,β
m
是m个向量,知r(β
1
,β
2
,...,β
m
)≤m.故r(β
1
,β
2
,...,β
m
)=m,即β
1
,β
2
,...,β
m
线性无关.可见(A)是充分条件.那么(A)是必要的吗?即
α
1
,...α
m
与β
1
,β
2
,...,β
m
均线性无关,能否推导出α
1
,...α
m
必可由β
1
,β
2
,...,β
m
线性表示?
α
1
α
2
与β
1
β
2
α
1
,α
2
与β
1
,β
2
均线性无关,但α
1
,α
2
小能由β
1
,β
2
线性表示.
所以(A)只是充分条件并不必要.
对于(B),有r(β
1
,β
2
,...,β
m
)≤r(α
1
,...α
m
)=rn.
因此由(B)不能推导β
1
,β
2
,...,β
m
线性无关,即充分性A成立.同(A)后之例,知(B)不是必要条件,所以(B)对于β
1
,β
2
,...,β
m
线性无关是不充分义不必要的条件.
至于(C),所谓α
1
,...α
m
与β
1
,β
2
,...,β
m
等价,即这两个向量组出以互棉线性表出,m(A)知它只是一个充分条件。
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考研数学一
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