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  3. (2002年试题，三)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0，f’(0)≠0，若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a，b的值

(2002年试题，三)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0，f’(0)≠0，若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a，b的值

admin2021-01-15  18
问题 (2002年试题，三)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0，f’(0)≠0，若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a，b的值
选项
答案由题意知，h→0时af(h)+bf(2h)一f(0)是比h高阶的无穷小，因而[*]由此可知[*]结合f’(0)≠0但存在的事实，有(a+b—1)f(0)=0，从而a+b=1，又根据f(x)在x=0附近某邻域内具有一阶连续导数，则由洛必达法则[*]因此a+2b=0，所以a=2，b=一1．解析二本题还可应用麦克劳林级数展开式，即f(h)=f(0)+f’(0)h+o(h)，f(2h)=f(0)+f’(0)2h+o(h)，则af(h)+bf(2h)一f(0)=(a+b—1)f(0)+(a+2b)f’(0)h+o(h)，由已知af(h)+bf(2h)一f(0)是比h高阶的无穷小，因此有[*]同样可解得a=2，b=一1
解析 若“函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数‘换成’函数f(x)在x=0处可导”，则解析一中的洛必达法则不可用．
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考研数学一

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