2. 考研
  3. (2003年)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． (1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的

(2003年)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． (1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的

admin2019-07-23  23
问题 (2003年)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
    (1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；
    (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的解．
选项
答案由反函数导数公式知 [*] 上式两端对y求导得 [*] 将[*]代入原方程得 y"—y=sinx 该方程对应的齐次方程y"一y=0的通解为 y=C1ex+C2e-x 设方程y"—y=sinx的特解为 [*]=Acosx+Bsinx，代入该方程得 A=0，[*] 故 [*] 从而 y"一y=sinx的通解为 [*] 由y(0)=0，[*]得C1=1，C2=一1， 故 [*]
解析
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考研数学一

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