(2003年)设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. (1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程; (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,的

admin2019-07-23  21

问题 (2003年)设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.
    (1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程;
    (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,的解.

选项

答案由反函数导数公式知 [*] 上式两端对y求导得 [*] 将[*]代入原方程得 y"—y=sinx 该方程对应的齐次方程y"一y=0的通解为 y=C1ex+C2e-x 设方程y"—y=sinx的特解为 [*]=Acosx+Bsinx,代入该方程得 A=0,[*] 故 [*] 从而 y"一y=sinx的通解为 [*] 由y(0)=0,[*]得C1=1,C2=一1, 故 [*]

解析
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