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  3. [2014年] 设，E为三阶单位矩阵． 求满足AB=E的所有矩阵B．

[2014年] 设，E为三阶单位矩阵． 求满足AB=E的所有矩阵B．

admin2019-04-08  30
问题 [2014年]  设，E为三阶单位矩阵．
求满足AB=E的所有矩阵B．
选项
答案因A不可逆，需用元素法求出满足AB=E的所有矩阵．由AB=E，A为3×4矩阵，E为3×3矩阵，则B必为4×3矩阵．设其元素为xij，有B=(xij)4×3，则 [*] 即[*] 因而得到下述三个线性方程组： [*] 对上述三方程组的增广矩阵使用初等行变换化为含最高阶单位阵的矩阵： 对于方程组①，[*] 由基础解系和特解的简便求法即得方程组①的一个特解及对应的齐次线性方程组的一个基础解系，分别为η1=[2，一1，一1，0]T，α=[一1，2，3，1]T． 于是方程组①的通解为 X1=[x11，x21，x31，x41]T=Y1+η1=k1α+η1=[-k1+2，2k1一1，3k1一1，k1]T． 同样由[*]得方程组②的通解为 X2=[x12，x22，x32，x42]T=Y2+η2=k2α+η2 =k2[一1，2，3，1]T+[6，一3，一4，0]T=[-k2+6，2k2-3，3k2—4，k2]T． 由[*]得方程组③的通解为 X3=[x13，x23，x33，x43]T=Y3+η3=k3α+η3 =k3[一1，2，3，1]T+[-1，1，1，0]T=[-k3一1，2k3+1，3k3+1，k3]T． 综上得到， B=[X1，X2，X3]=[*] (其中k1，k2，k3为任意常数)．
解析
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考研数学一

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