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已知抛物线y2=4χ的焦点为F. (1)求证:存在正数a,使得过点P(a,0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线,均满足 <0. (2)求a的取值范围.
已知抛物线y2=4χ的焦点为F. (1)求证:存在正数a,使得过点P(a,0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线,均满足 <0. (2)求a的取值范围.
admin
2015-12-09
53
问题
已知抛物线y
2
=4χ的焦点为F.
(1)求证:存在正数a,使得过点P(a,0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线,均满足
<0.
(2)求a的取值范围.
选项
答案
(1)由已知得,F的坐标为(1,0). 设过点P(a,0)的直线l与抛物线的交点A、B的坐标分别为(χ
1
,y
1
)、(χ
2
,y
2
), 另设直线l的方程为χ=my+a(a>0),则由[*]得,y
2
-4my-4a=0, 因为直线l与已知抛物线有两个交点, 故△=16m
2
-4×(-4a)=16(m
2
+a)>0,且[*]. 又因为[*], 则要[*]=(χ
1
-1)(χ
2
-1)+y
1
y
2
=χ
1
χ
2
-(χ
1
+χ
2
)+1+y
1
y
2
<0, 而χ=[*],则上式化为[*][(y
1
+y
2
)
2
-2y
1
y
2
]+1+y
1
y
2
<0 将[*]代入得,a
2
-6a+1<477m
2
, 又因为4m
2
≥0,故a
2
-6a+1<4m
2
若想对于一切优均成立,则a
2
-6a+1<0, 由于△=(-6)
2
-4=32>0, 故存在正数a,使得过点P(a,0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线,均满足[*]<0. (2)由(1)可知,当满足条件时,a
2
-6a+1<0, 故可得a的取值范围为[*].
解析
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