2. 公务员
  3. 已知抛物线y2＝4χ的焦点为F． (1)求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足 ＜0． (2)求a的取值范围．

已知抛物线y2＝4χ的焦点为F． (1)求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足 ＜0． (2)求a的取值范围．

admin2015-12-09  55
问题 已知抛物线y2＝4χ的焦点为F．
    (1)求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足 ＜0．
    (2)求a的取值范围．
选项
答案(1)由已知得，F的坐标为(1，0)． 设过点P(a，0)的直线l与抛物线的交点A、B的坐标分别为(χ1，y1)、(χ2，y2)， 另设直线l的方程为χ＝my＋a(a＞0)，则由[*]得，y2－4my－4a＝0， 因为直线l与已知抛物线有两个交点， 故△＝16m2－4×(－4a)＝16(m2＋a)＞0，且[*]． 又因为[*]， 则要[*]＝(χ1－1)(χ2－1)＋y1y2＝χ1χ2－(χ1＋χ2)＋1＋y1y2＜0， 而χ＝[*]，则上式化为[*][(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＋y1y2＜0 将[*]代入得,a2－6a＋1＜477m2， 又因为4m2≥0，故a2－6a＋1＜4m2若想对于一切优均成立，则a2－6a＋1＜0， 由于△＝(－6)2－4＝32＞0， 故存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足[*]＜0． (2)由(1)可知，当满足条件时，a2－6a＋1＜0， 故可得a的取值范围为[*]．
解析
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