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设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT。 求矩阵A的特征值和特征向量。
设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT。 求矩阵A的特征值和特征向量。
admin
2018-02-07
84
问题
设向量α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
,β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
都是非零向量,且满足条件α
T
β=0,记n阶矩阵A=αβ
T
。
求矩阵A的特征值和特征向量。
选项
答案
设λ为A的特征值,则λ
2
为A
2
的特征值。因A
2
=O,所以A
2
的特征值全为零,故λ=0, 即A的特征值全为零,于是方程组Ax=0的非零解就是A的特征向量。不妨设a
1
≠0,b
1
≠0,对A作初等行变换得 [*] 则Ax=0的基础解系为 (一b
2
,b
1
,0,…,0)
T
,(一b
3
,0,b
1
,…,0)
T
,…,(一b
n
,0,0,…,b
1
)
T
, 故矩阵A的特征向量为 k
1
(一b
2
,b
1
,0,…,0)
T
+k
2
(一b
3
,0,b
1
,…,0)
T
+…+k
n-1
(一b
n
,0,0,…,b
1
)
T
其中k
1
,k
2
,…,k
n-1
不全为零。
解析
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考研数学二
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