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设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT。 求矩阵A的特征值和特征向量。
设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT。 求矩阵A的特征值和特征向量。
admin
2018-02-07
64
问题
设向量α=(a
1
，a
2
，…，a
n
)
T
，β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
都是非零向量，且满足条件α
T
β=0，记n阶矩阵A=αβ
T
。
求矩阵A的特征值和特征向量。
选项
答案
设λ为A的特征值，则λ
2
为A
2
的特征值。因A
2
=O，所以A
2
的特征值全为零，故λ=0， 即A的特征值全为零，于是方程组Ax=0的非零解就是A的特征向量。不妨设a
1
≠0，b
1
≠0，对A作初等行变换得 [*] 则Ax=0的基础解系为 (一b
2
，b
1
，0，…，0)
T
，(一b
3
，0，b
1
，…，0)
T
，…，(一b
n
，0，0，…，b
1
)
T
， 故矩阵A的特征向量为 k
1
(一b
2
，b
1
，0，…，0)
T
+k
2
(一b
3
，0，b
1
，…，0)
T
+…+k
n－1
(一b
n
，0，0，…，b
1
)
T
其中k
1
，k
2
，…，k
n－1
不全为零。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/lXk4777K
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考研数学二
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