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设n阶矩阵A= (1)求A的特征值和特征向量. (2)求作可逆矩阵P,使得P-1AP是对角矩阵.
设n阶矩阵A= (1)求A的特征值和特征向量. (2)求作可逆矩阵P,使得P-1AP是对角矩阵.
admin
2016-10-21
49
问题
设n阶矩阵A=
(1)求A的特征值和特征向量.
(2)求作可逆矩阵P,使得P
-1
AP是对角矩阵.
选项
答案
如果b=0,则A=E,特征值为1(n重),并且任何n维非零向量都是特征向量.A本身就是对角矩阵,对任一n阶可逆矩阵P,均有P
-1
AP=E,下面讨论b≠0的情形. (1)①求特征值 可以求A的特征多项式,再求根得到特征值,但是这个矩阵可更加简单的计算特征值. 记C是每个元素都是b的n阶矩阵,则A=C+(1-b)E.C的秩为1,其特征值为0,0,…,0,nb.于是A的特征值为:1-b,1-b,…,1-b,(n-1)b+1. ②求A的特征向量 属于特征值1-6的特征向量是[A-(1-b)E]X=0(即CX=0)的非零解.易见 η
1
=(1,-1,0,…,0)
T
,η
2
=(1,0,-1,…,0)
T
,…,η
n-1
=(1,0,…,0,-1)
T
, 是CX=0的基础解系.得属于1-b的特征向量: c
1
η
1
+c
2
η
2
+…+c
n-1
η
n-1
,c
1
,c
2
,…,c
n-1
不全为0. 属于特征值(n-1)b+l的特征向量是{A-[(n-1)b+1]E}X=0的非零解.求得一个非零解η=(1,1,1,…,1)
T
,它构成基础解系,属于(n-1)b+1的特征向量为 cη,c≠0. (2)令P=(η
1
,η
2
,…,η
n-1
,η),则P是可逆矩阵,并且 [*]
解析
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