2. 考研
  3. 设n阶矩阵A＝ (1)求A的特征值和特征向量． (2)求作可逆矩阵P，使得P-1AP是对角矩阵．

设n阶矩阵A＝ (1)求A的特征值和特征向量． (2)求作可逆矩阵P，使得P-1AP是对角矩阵．

admin2016-10-21  57
问题 设n阶矩阵A＝
    (1)求A的特征值和特征向量．
    (2)求作可逆矩阵P，使得P-1AP是对角矩阵．
选项
答案如果b＝0，则A＝E，特征值为1(n重)，并且任何n维非零向量都是特征向量．A本身就是对角矩阵，对任一n阶可逆矩阵P，均有P-1AP＝E，下面讨论b≠0的情形． (1)①求特征值 可以求A的特征多项式，再求根得到特征值，但是这个矩阵可更加简单的计算特征值． 记C是每个元素都是b的n阶矩阵，则A＝C＋(1－b)E．C的秩为1，其特征值为0，0，…，0，nb．于是A的特征值为：1－b，1－b，…，1－b，(n－1)b＋1． ②求A的特征向量 属于特征值1－6的特征向量是[A－(1－b)E]X＝0(即CX＝0)的非零解．易见 η1＝(1，－1，0，…，0)T，η2＝(1，0，－1，…，0)T，…，ηn-1＝(1，0，…，0，－1)T， 是CX＝0的基础解系．得属于1－b的特征向量： c1η1＋c2η2＋…＋cn-1ηn-1，c1，c2，…，cn-1不全为0． 属于特征值(n－1)b＋l的特征向量是{A－[(n－1)b＋1]E}X＝0的非零解．求得一个非零解η＝(1，1，1，…，1)T，它构成基础解系，属于(n－1)b＋1的特征向量为 cη，c≠0． (2)令P＝(η1，η2，…，ηn-1，η)，则P是可逆矩阵，并且 [*]
解析
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考研数学二

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