从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用，设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速

admin2014-01-26 73

问题从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用，设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y＝y(v)．

选项

答案取沉放点为原点O，Oy轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 [*] 由[*]，于是原方程化为 [*]，分离变量得 [*]，两边积分得 [*]，代入初始条件[*]，得 [*]，所以，所求函数关系为[*]。

解析 [分析] 根据牛顿第二定律，列出微分方程，再求解方程即可．
[评注] 本题的解题思路比较简单。但因为含有多个宁母参数，所以计算比较繁琐，应注意计算能力的训练．

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考研数学二

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