微分方程y’’一3y’+2y=2ex满足的特解为__________。

admin2017-07-31 35

问题微分方程y’’一3y’+2y=2e^x满足

的特解为__________。

选项

答案y=一3e^x+3e^2x一2xe^x

解析 y’’一3y’+2y=2e^x对应的齐次方程的特征方程是λ²一3λ+2=0，它的两个特征根分别是λ₁=1，λ₂=2。因此对应齐次方程的通解为Y=C₁e^x+C₂e^2x。又因为x=1是特征方程的单根，所以，设非齐次方程的特解为y^*=Axe^x，则
(y^*)’=Ae^x+Axe^x，
(y^*)’’=2Ae^x+Axe^x，
将以上三式代入方程得A=一2。
因此，此非齐次线性微分方程的通解为
y=C₁e^x+C₂e^2x一2xe^x。
由所给题设条件可得y(0)=0，y’(0)=1，代入上式解得
y=一3e^x+3e^2x一2xe^x。

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