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微分方程y’’一3y’+2y=2ex满足的特解为__________。
微分方程y’’一3y’+2y=2ex满足的特解为__________。
admin
2017-07-31
56
问题
微分方程y’’一3y’+2y=2e
x
满足
的特解为__________。
选项
答案
y=一3e
x
+3e
2x
一2xe
x
解析
y’’一3y’+2y=2e
x
对应的齐次方程的特征方程是λ
2
一3λ+2=0,它的两个特征根分别是λ
1
=1,λ
2
=2。因此对应齐次方程的通解为Y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
。又因为x=1是特征方程的单根,所以,设非齐次方程的特解为y
*
=Axe
x
,则
(y
*
)’=Ae
x
+Axe
x
,
(y
*
)’’=2Ae
x
+Axe
x
,
将以上三式代入方程得A=一2。
因此,此非齐次线性微分方程的通解为
y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
一2xe
x
。
由所给题设条件可得y(0)=0,y’(0)=1,代入上式解得
y=一3e
x
+3e
2x
一2xe
x
。
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考研数学二
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