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已知β1，β2是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解，α1，α2是对应齐次线性方程组AX=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则AX=b的通解必是( )．
已知β1，β2是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解，α1，α2是对应齐次线性方程组AX=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则AX=b的通解必是( )．
admin
2021-01-19
101
问题
已知β
1
，β
2
是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解，α
1
，α
2
是对应齐次线性方程组AX=0的基础解系，k
1
，k
2
为任意常数，则AX=b的通解必是( )．
选项
A、k
1
α
1
+k
2
(α
1
一α
2
)+(β
1
－β
2
)／2
B、k
1
α
1
+k
2
(α
1
一α
2
)+(β
1
+β
2
)／2
C、k
1
α
1
+k
2
(β
1
一β
2
)+(β
1
－β
2
)／2
D、k
1
α
1
+k
2
(β
1
一β
2
)+(β
1
+β
2
)／2
答案
B
解析
利用解的结构定理即命题2．4．4．2求之．
解一 因α
1
，α
2
线性无关，由命题2．3．2．2知α
1
，α
1
+α
2
线性无关，α
1
，α
1
一α
2
也线性无关．又因1／2+1／2=1，由命题2．4．4．1知，(β
1
+β
2
)／2为AX=b的一特解，由命题2．4．4．2知，k
1
α
1
+k
2
(α
2
一α
1
)+(β
1
+β
2
)／2为AX=b的通解．仅(B)入选．
解二 因(A)中(β
1
一β
2
)／2不是AX=b的特解，而(C)中既没有特解，且β
1
+β
2
也不是AX=0的解，(D)中虽有特解，且α
1
与β
2
一β
1
均为AX=0的解，但α
1
与β
2
一β
1
的线性相关性无法确定，故(A)，(C)，(D)均不正确．仅(B)入选．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/lg84777K
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考研数学二
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