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n维向量组α1,α2,…,αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( )
n维向量组α1,α2,…,αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( )
admin
2015-07-22
56
问题
n维向量组α
1
,α
2
,…,α
s
(3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( )
选项
A、存在一组全为零的数k
1
,k
2
,…,k
s
,使k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0
B、α
1
,α
2
,…,α
s
中任意两个向量都线性无关
C、α
1
,α
2
,…,α
s
中任意一个向量都不能由其余向量线性表出
D、存在一组不全为零的数k
1
,k
2
,…,k
s
,使k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
≠0
答案
C
解析
可用反证法证明之:必要性:假设有一向量,如α
s
可由α
1
,α
2
,…,α
s-1
线性表出,则α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,这和已知矛盾,故任一向量均不能由其余向量线性表出.充分性:假设α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关
至少存在一个向量可由其余向量线性表出,这和已知矛盾,故α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关.(A)对任何向量组都有0α
1
+0α
2
+…+0α
s
=0的结论.(B)必要但不充分,如α
1
=[0,1,0]
T
,α
2
=[1,1,0]
T
,α
3
=[1,0,0]
T
任两个线性无关,但α
1
,α
2
,α
3
线性相关.(D)必要但不充分,如上例α
1
+α
2
+α
3
≠0,但α
1
,α
2
,α
3
线性相关.
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考研数学三
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