2. 考研
  3. 设求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵，

设求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵，

admin2016-10-24  95
问题 设求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵，
选项
答案|λE一A|=[*]=(λ+a一1)(λ一a)(λ一a一1)=0，得矩阵A的特征值为λ1=1一a，λ1=a，λ3=1+a． (1)当1一a≠a，1一a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且a≠[*]时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化． λ1=1一a时，由[(1一a)E一A]X=0得ξ1=[*]；λ2=a时，由(aE一A)X=0得ξ2=[*]；λ3=1+a时，由[(1+a)E一A]X=0得ξ3=[*] [*] (2)当a=0时，λ1=λ3=1，因为r(E一A)=2，所以方程组(E一A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化． (3)当a=[*]时，λ1一λ2=[*] 因为[*]=2，所以方程组[*]=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．
解析
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考研数学三

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