设A为n阶矩阵，若Ak-1α≠0,而Akα=0.证明：向量组α，Aα,…,Ak-1α线性无关。

admin2021-11-25 34

问题设A为n阶矩阵，若A^k-1α≠0,而A^kα=0.证明：向量组α，Aα,…,A^k-1α线性无关。

选项

答案令l₀α+l₁Aα+…+l_k-1A^k-1α=0 (*) (*)式两边同时左乘A^k-1得l₀A^k-1α=0，因为A^k-1α≠0，所以l₀=0; (*)式两边同时左乘A^k-2得l₁A^k-1α=0，因为A^k-1α≠0，所以l₁=0; 以此类推可得l₂=...=l_k-1=0,所以α，Aα,...,A^k-1α线性无关。

解析

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