证明不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0，)。

admin2020-01-15 59

问题证明不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0，

)。

选项

答案设f(x)=tanx+2sinx一3x，x∈(0，[*])，则f^’(x)=sec²x+2cosx一3， f^’’(x)=2sec²xtanx一2sinx=2sinx(sec³x一1)，由于当x∈(0，[*])时sinx＞0，sec³x一1＞0，则f^’’(x)＞0，函数f^’(x)=sec²x+2cosx一3，为增函数，f^’(0)=0，因此x∈(0，[*])时，f(x)=sec²x+2cosx一3＞0，进一步得函数f(x)为增函数，由于f(0)=0，因此f(x)=tanx+2sinx一3x＞f(0)=0，x∈(0，[*])，即不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0，[*])成立。

解析

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