证明不等式3x<tanx+2sinx,x∈(0,)。

admin2020-01-15  38

问题 证明不等式3x<tanx+2sinx,x∈(0,)。

选项

答案设f(x)=tanx+2sinx一3x,x∈(0,[*]), 则f(x)=sec2x+2cosx一3, f’’(x)=2sec2xtanx一2sinx=2sinx(sec3x一1), 由于当x∈(0,[*])时sinx>0,sec3x一1>0,则f’’(x)>0,函数f(x)=sec2x+2cosx一3,为增函数,f(0)=0,因此x∈(0,[*])时,f(x)=sec2x+2cosx一3>0,进一步得函数f(x)为增函数,由于f(0)=0,因此f(x)=tanx+2sinx一3x>f(0)=0,x∈(0,[*]),即不等式3x<tanx+2sinx,x∈(0,[*])成立。

解析
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