设S是上半空间z＞0中任意光滑闭曲面，S围成区域Ω，函数u=ρw(ρ)(ρ=在上半空间有连续的二阶偏导数，满足求w(ρ)．

admin2016-10-26 74

问题设S是上半空间z＞0中任意光滑闭曲面，S围成区域Ω，函数u=ρw(ρ)(ρ=

在上半空间有连续的二阶偏导数，满足

求w(ρ)．

选项

答案即求u(ρ)．由高斯公式得 [*] 由Ω的任意性得[*]=0 (z＞0)． (*) 注意u只依赖于ρ=[*]表示．由复合函数求导法得 [*] 同理[*] 于是，(*)化成[*] 这是可降价的二阶线性方程，两边乘ρ²得[*]=ρ²e^ρ．积分得[*] 再积分得[*] 其中C₁，C₂为任意常数．因此w=[*]

解析

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考研数学一

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在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处在曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在(1，1)处在切线与x轴平行．
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