设S是上半空间z>0中任意光滑闭曲面,S围成区域Ω,函数u=ρw(ρ)(ρ=在上半空间有连续的二阶偏导数,满足 求w(ρ).

admin2016-10-26  23

问题 设S是上半空间z>0中任意光滑闭曲面,S围成区域Ω,函数u=ρw(ρ)(ρ=在上半空间有连续的二阶偏导数,满足

求w(ρ).

选项

答案即求u(ρ).由高斯公式得 [*] 由Ω的任意性得[*]=0 (z>0). (*) 注意u只依赖于ρ=[*]表示.由复合函数求导法得 [*] 同理[*] 于是,(*)化成[*] 这是可降价的二阶线性方程,两边乘ρ2得[*]=ρ2eρ. 积分得[*] 再积分得[*] 其中C1,C2为任意常数.因此w=[*]

解析
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