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方程x5-1=0的5个根在复平面上是一个正五边形的顶点, (1)求方程x4+x3+x+1=0的四个复根中落在第一象限的那个根,要求用根式表达。(提示:做变量替换) (2)利用(1)的结论,计算单位圆的内接正五边形的边长。
方程x5-1=0的5个根在复平面上是一个正五边形的顶点, (1)求方程x4+x3+x+1=0的四个复根中落在第一象限的那个根,要求用根式表达。(提示:做变量替换) (2)利用(1)的结论,计算单位圆的内接正五边形的边长。
admin
2015-06-14
48
问题
方程x
5
-1=0的5个根在复平面上是一个正五边形的顶点,
(1)求方程x
4
+x
3
+x+1=0的四个复根中落在第一象限的那个根,要求用根式表达。(提示:做变量替换
)
(2)利用(1)的结论,计算单位圆的内接正五边形的边长。
选项
答案
(1)由已知得x
5
-1=(x-1)(x
4
+x
3
+x
2
+x+1)=0,可得x
1
=1或x
4
+x
3
+x
2
+x+1=0。 [*] 带入z可得[*],则第一象限的根为[*] (2)在复平面内建立直角坐标系,其中单位圆方程为x
2
+y
2
=1。令其内接正五边形过点(1,0),设其余四个顶点的坐标为(a,b),且满足a
2
+b
2
=1。由(1)得x
5
-1=0的五个根均在单位圆上,且∣x
1
x
2
∣=∣x
1
x
3
∣=∣x
2
x
4
∣=∣x
4
x
5
∣=[*],则这五点构成一个单位圆的内接正五边形边长为[*]
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
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