2. 考研
  3. (13)A，B均为3阶矩阵，且A与B相似，λ1＝1，λ2＝3为矩阵A的两个特征值，已知｜B｜＝6,则＝____________。

(13)A，B均为3阶矩阵，且A与B相似，λ1＝1，λ2＝3为矩阵A的两个特征值，已知｜B｜＝6,则＝____________。

admin2022-01-05  51
问题 (13)A，B均为3阶矩阵，且A与B相似，λ1＝1，λ2＝3为矩阵A的两个特征值，已知｜B｜＝6,则＝____________。
选项
答案[*]
解析 本题考查相似矩阵的性质和伴随矩阵的行列式。如果两个矩阵相似，则它们有相同的特征多项式、相同的特征值、相同的秩、相同的行列式、相同的迹。矩阵A的伴随矩阵的行列式等于｜A｜2。
设λ3为A的另一个特征值，则由A与B相似可得｜A｜＝｜B｜＝6，且λ1λ2λ3＝
｜A｜＝6，因此可得λ3＝2，即A与J6『的特征值均为1，2，3，故有
    ｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)(λ3＋1)＝2×3×4＝24，
    ｜B*｜＝｜B｜2＝36，
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考研数学三

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