设α1，α2，…，αn是n个n维向量，且已知 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 (*) 只有零解．问方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+

admin2018-11-11 36

问题设α₁，α₂，…，α_n是n个n维向量，且已知
α₁x₁+α₂x₂+…+α_nx_n=0 (*)
只有零解．问方程组
(α₁+α₂)x₁+(α₂+α₃)x₂+…+(α_n-1+α_n)x_n-1+(α_n+α₁)x_n=0 (**)
何时只有零解?说明理由；何时有非零解?有非零解时，求出其通解．

选项

答案α₁x₁+α₂x₂+…+α_nx_n=0只有零解[*]r(α₁，α₂，…，α_n)=n[*]α₁，α₂，…，α_n线性无关． [*] 记为B=AC，其中r(A)=r(α₁，α₂，…，α_n)=n． [*] ①当n=2k+1时，|C|=2≠0，r(B)=r(A)=n，方程组(**)只有零解． ②当n=2k时，|C|=0，C中有，n=1阶子式C_n-1,n-1=1≠0，因r(A)=n，故r(B)=r(C)=n—1．方程组(**)有非零解，其基础解系由一个非零解组成．因(α₁+α₂)一(α₂+α₃)+(α₃+α₄)一…+(α_2k-1+α_2k)一(α_2k+α₁)=0，方程组(**)有通解t[1，一1，1，一1，…，1，一1]^T，其中t是任意常数．或因A可逆，ACx=Bx=0和Cx=0同解， [*] r(B)=r(C)=2k一1，Bx=0有通解t[1，一1，1，一1，…，一1]^T，t是任意常数．

解析

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考研数学二

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