2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αn是n个n维向量，且已知 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 (*) 只有零解．问方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+

设α1，α2，…，αn是n个n维向量，且已知 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 (*) 只有零解．问方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+

admin2018-11-11  82
问题 设α1，α2，…，αn是n个n维向量，且已知
                    α1x1+α2x2+…+αnxn=0    (*)
只有零解．问方程组
             (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0    (**)
何时只有零解?说明理由；何时有非零解?有非零解时，求出其通解．
选项
答案α1x1+α2x2+…+αnxn=0只有零解[*]r(α1，α2，…，αn)=n[*]α1，α2，…，αn线性无关． [*] 记为B=AC，其中r(A)=r(α1，α2，…，αn)=n． [*] ①当n=2k+1时，|C|=2≠0，r(B)=r(A)=n，方程组(**)只有零解． ②当n=2k时，|C|=0，C中有，n=1阶子式Cn-1,n-1=1≠0，因r(A)=n，故r(B)=r(C)=n—1． 方程组(**)有非零解，其基础解系由一个非零解组成． 因(α1+α2)一(α2+α3)+(α3+α4)一…+(α2k-1+α2k)一(α2k+α1)=0，方程组(**)有通解t[1，一1，1，一1，…，1，一1]T，其中t是任意常数． 或因A可逆，ACx=Bx=0和Cx=0同解， [*] r(B)=r(C)=2k一1，Bx=0有通解t[1，一1，1，一1，…，一1]T，t是任意常数．
解析
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考研数学二

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