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设α1，α2，…，αn是n个n维向量，且已知 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 (*) 只有零解．问方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+
设α1，α2，…，αn是n个n维向量，且已知 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 (*) 只有零解．问方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+
admin
2018-11-11
52
问题
设α
1
，α
2
，…，α
n
是n个n维向量，且已知
α
1
x
1
+α
2
x
2
+…+α
n
x
n
=0 (*)
只有零解．问方程组
(α
1
+α
2
)x
1
+(α
2
+α
3
)x
2
+…+(α
n-1
+α
n
)x
n-1
+(α
n
+α
1
)x
n
=0 (**)
何时只有零解?说明理由；何时有非零解?有非零解时，求出其通解．
选项
答案
α
1
x
1
+α
2
x
2
+…+α
n
x
n
=0只有零解[*]r(α
1
，α
2
，…，α
n
)=n[*]α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关． [*] 记为B=AC，其中r(A)=r(α
1
，α
2
，…，α
n
)=n． [*] ①当n=2k+1时，|C|=2≠0，r(B)=r(A)=n，方程组(**)只有零解． ②当n=2k时，|C|=0，C中有，n=1阶子式C
n-1,n-1
=1≠0，因r(A)=n，故r(B)=r(C)=n—1． 方程组(**)有非零解，其基础解系由一个非零解组成． 因(α
1
+α
2
)一(α
2
+α
3
)+(α
3
+α
4
)一…+(α
2k-1
+α
2k
)一(α
2k
+α
1
)=0，方程组(**)有通解t[1，一1，1，一1，…，1，一1]
T
，其中t是任意常数． 或因A可逆，ACx=Bx=0和Cx=0同解， [*] r(B)=r(C)=2k一1，Bx=0有通解t[1，一1，1，一1，…，一1]
T
，t是任意常数．
解析
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考研数学二
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