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设A为三阶实对称矩阵,λ1=8,λ2=λ3=2是其特征值.已知对应λ1=8的特征向量为α1=[1,k,1]T,对应λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=[-1,1,0]T.试求参数k及λ2=λ3=2的一个特征向量和矩阵A.
设A为三阶实对称矩阵,λ1=8,λ2=λ3=2是其特征值.已知对应λ1=8的特征向量为α1=[1,k,1]T,对应λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=[-1,1,0]T.试求参数k及λ2=λ3=2的一个特征向量和矩阵A.
admin
2016-01-25
50
问题
设A为三阶实对称矩阵,λ
1
=8,λ
2
=λ
3
=2是其特征值.已知对应λ
1
=8的特征向量为α
1
=[1,k,1]
T
,对应λ
2
=λ
3
=2的一个特征向量为α
2
=[-1,1,0]
T
.试求参数k及λ
2
=λ
3
=2的一个特征向量和矩阵A.
选项
答案
因α
1
,α
2
是实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量,故有α
1
T
α
2
=0,即 [1,k,1][*]=-1+k+0=0, 故有k=1,即α
1
=[1,1,1]
T
. 设λ
2
=λ
3
=2的属于A的另一特征向量为α
3
=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,则α
1
T
α
3
=0.为保证α
2
,α
3
线性无关,可进一步要求α
2
T
α
3
=0,这样有 [*] 由 [*] 得到基础解系为 [-1/2.-1/2,1]
T
. 为方便计,取 α
3
=[1,1,一2]
T
. 再由 A[α
1
,α
2
,α
3
]=[Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
]=[λ
1
α
1
,λ
2
α
2
,λ
3
α
3
] 得 A=[λ
1
α
1
,λ
2
α
2
,λ
3
α
3
][α
1
,α
2
,α
3
]
-1
[*]
解析
利用实对称矩阵特征向量的性质求之.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mKU4777K
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考研数学三
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