证明：二次型f（x）=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

admin2017-01-21 41

问题证明：二次型f（x）=x^TAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

选项

答案A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得 QAQ^—1=diag（λ₁，λ₂，…，λ_n）=Λ，其中λ₁，λ₂，…，λ_n为A的特征值，不妨设λ₁最大。作正交变换y=Qx，即x=Q^—1y=Q^Ty，则 f=x^TAx=y^TQAQ^Ty=y^TAy=λ₁y₁²+ λ₂y₂²+…+λ_ny_n²，因为y=Qx，所以当||x||=1时，有 ||x||=x^Tx=y^TQQ^Ty=||y ||²=1，即 y₁²+y₂²+…+y_n²=1 。因此 f=λ₁y₁²+λ₂y₂²+…+λ_ny_n²≤λ₁（y₁²+y₂²+…+y_n²）=λ₁。又当y₁=1，y₂=y₃3=…=y_n=0时，f=λ₁，所以f_max=λ₁。

解析

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考研数学三

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设函数y=y(x)往(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．试将x=x(y)所满足的微分方程d2x/dy2+(y+sinx)(dx/dy)3=0变换为y=y(x)满足的微分方程；
求满足下列条件的平面方程：(2)过点(3，0，－1)且与平面3x－7y＋5z－12＝0平行；(3)过点(1，0，－1)且同时平行于向量a＝2i＋j＋k和b＝i－j；(4)过点(1，1，1)和点(0，1，－1)且与平面x＋y＋z＝0相垂直；(5)过
设函数f’(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=______.
设随机变量X和Y的相关系数为0．5，EX=EY=0，EX2=EY2=2，则E(X+Y)2=__________.
设F(x)=F(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(-∞，+∞)内满足以下条件：f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex．求F(x)所满足的一阶微分方程；
设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．
已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．
已知齐次线性方程组i:x1+2x2+3x3=0；2x1+3x2+5x3=0；x1+2x2+ax3=0；和ii:x1+bx2+cx3=0；2x1+b2x2+(c+1)x3=0；同解，求a，b，c的值．证明α1，α2，α3线性无关；
将函数f(x)＝－sinx／2＋1，x∈[0，π]，展开成正弦级数．

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以下说法不正确的是：
当以优质杂排水和杂排水为中水水源时，中水处理工艺流程为（）。
下面关于控制网的叙述错误的是（）。
设备监理工作的性质表现在它的()。
扩张型货币政策的主要功能是()。
行政机关及其执法人员当场收缴罚款的，不一定需要向当事人出具省、自治区、直辖市财政部门统一制发的罚款收据。（）
社会主义法律的经济基础是()
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