(04年)设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，且满足 ∫aχf(t) dt≥∫aχg(t)dt，χ∈[a，b]；∫abf(t)dt＝∫abg(t)dt 证明：∫abχf(χ)dχ≤∫abχg(χ)dχ

admin2021-01-25 57

问题 (04年)设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，且满足
∫_a^χf(t) dt≥∫_a^χg(t)dt，χ∈[a，b]；∫_a^bf(t)dt＝∫_a^bg(t)dt
证明：∫_a^bχf(χ)dχ≤∫_a^bχg(χ)dχ

选项

答案令F(χ)＝f(χ)＝(χ)，G(χ)＝∫_a^χF(t)dt，由题设知 G(χ)≥0，χ∈[a，b]， G(a)＝G(b)＝0，G′(χ)＝F(χ)．从而 ∫_a^bχF(χ)dχ＝∫_a^bχdG(χ)＝χG(χ)｜_a^b－∫_a^bG(χ)dχ ＝－∫_a^bG(χ)dχ．由于G(χ)≥0，χ∈[a，b]，故有－∫_a^bG(χ)dχ≤0，即∫_a^bF(χ)dχ≤0．因此∫_a^bχf(χ)dχ≤∫_a^bχg(χ)dχ．

解析

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