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设a＜b，证明：[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．
设a＜b，证明：[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．
admin
2016-09-13
48
问题
设a＜b，证明：[∫
a
b
f(x)g(x)dx]
2
≤∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(x)dx．
选项
答案
构造辅助函数 F(t)=[∫
a
t
f(x)g(x)dx]
2
－∫
a
t
f
2
(x)dx∫
a
t
g
2
(x)dx， 则F(a)=0，且 Fˊ(t)=2∫
a
t
f(x)g(x)dx.f(t)g(t)－f
2
(t)∫
a
t
g
2
(x)dx－g
2
(t)∫
a
t
f
2
(x)dx =∫
a
t
[2f(x)g(x)f(t)g(t)－f
2
(t)g
2
(x)－g
2
(t)f
2
(x)]dx =－∫
a
t
[f(t)g(x)－g(t)f(x)]
2
dx≤0， 所以F(b)≤0，即[∫
a
b
f(x)g(x)dx]
2
－∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(x)dx≤0，即 [∫
a
b
f(x)g(x)dx]
2
≤∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(x)dx．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mRT4777K
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考研数学三
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