2. 考研
  3. 设函数f(x)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3。

设函数f(x)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3。

admin2018-04-14  89
问题 设函数f(x)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3。
选项
答案方法一：由麦克劳林公式得 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]f"(0)x2+[*]f"’(η)x3， 其中η介于0与x之间，x∈[－1，1]。分别令x=－1，x=1并结合已知条件得 f(－1)=f(0)+[*]f"’(η1)=0，－1＜η2＜0， f(1)=f(0)+[*]f"’(η2)=1，0＜η2＜1， 两式相减，得 f"’(η2)+f"’(η1)=6。 由f"’(x)的连续性，知f"’(x)在区间[η1，η2]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有 m≤1／2[f"’(η[2])+f"’(η1)]≤M。 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η1，η2][*](－1，1)，使 f"’(ξ)=1／2[f"’(η2)+f"’(η1)]=3。 方法二：构造函数φ(x)，使得x∈[－1，1]时φ’(x)有三个零点，φ"(x)有两个零点，从而使用罗尔定理证明ξ必然存在。 设具有三阶连续导数φ(x)=f(x)+ax3+bx2+cx+d。令 [*] 再代入φ(x)得φ(x)=f(x)－[*]x3+[f(0)－[*]]x2－f(0)。 由罗尔定理可知，存在η1∈(－1，0)，η2∈(0，1)，使φ’(η1)=0，φ’(η2)=0，又因为φ’(0)=0，再由罗尔定理可知，存在ξ1∈(η1，0)，ξ2∈(0，η2)，使得φ"(ξ1)=0，φ"(ξ2)=0，再由罗尔定理知，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](η1，η2)[*](－1，1)，使 φ"’(ξ)=f"’(ξ)－3=0， 即f"’(ξ)=3。
解析
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考研数学二

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