首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3。
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3。
admin
2018-04-14
64
问题
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3。
选项
答案
方法一:由麦克劳林公式得 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]f"(0)x
2
+[*]f"’(η)x
3
, 其中η介于0与x之间,x∈[-1,1]。分别令x=-1,x=1并结合已知条件得 f(-1)=f(0)+[*]f"’(η
1
)=0,-1<η
2
<0, f(1)=f(0)+[*]f"’(η
2
)=1,0<η
2
<1, 两式相减,得 f"’(η
2
)+f"’(η
1
)=6。 由f"’(x)的连续性,知f"’(x)在区间[η
1
,η
2
]上有最大值和最小值,设它们分别为M和m,则有 m≤1/2[f"’(η[2])+f"’(η
1
)]≤M。 再由连续函数的介值定理知,至少存在一点ξ∈[η
1
,η
2
][*](-1,1),使 f"’(ξ)=1/2[f"’(η
2
)+f"’(η
1
)]=3。 方法二:构造函数φ(x),使得x∈[-1,1]时φ’(x)有三个零点,φ"(x)有两个零点,从而使用罗尔定理证明ξ必然存在。 设具有三阶连续导数φ(x)=f(x)+ax
3
+bx
2
+cx+d。令 [*] 再代入φ(x)得φ(x)=f(x)-[*]x
3
+[f(0)-[*]]x
2
-f(0)。 由罗尔定理可知,存在η
1
∈(-1,0),η
2
∈(0,1),使φ’(η
1
)=0,φ’(η
2
)=0,又因为φ’(0)=0,再由罗尔定理可知,存在ξ
1
∈(η
1
,0),ξ
2
∈(0,η
2
),使得φ"(ξ
1
)=0,φ"(ξ
2
)=0,再由罗尔定理知,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](η
1
,η
2
)[*](-1,1),使 φ"’(ξ)=f"’(ξ)-3=0, 即f"’(ξ)=3。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mRk4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=__________.
[*]
[*]
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,该曲线由x2+y2=2y(y≥1/2)与x2+y2=1(y≤1/2)连接而成。将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(长度单位:m,重力加速度为gm/s2,水的密度为103g/m3)
求微分方程ydx+(x-3y2)dx=0满足条件y|x=1=1的解y。
求微分方程(y+x2e-x)dx-xdy=0的通解y.
已知,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2,(1)求实数a的值;(2)求正交变换x=Qy将f化为标准形.
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x22+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.求n的值;
设(x0,y0)是抛物线y=ax2+bx+c上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是_________.
(2011年试题,一)函数f(x)=In|(x一1)(x一2)(x一3)|的驻点个数为().
随机试题
A.病理性Q波或QS波,ST段抬高,T波倒置B.心电图除aVR导联外,其他导联均呈弓背向下型抬高、T波倒置,无异常Q波出现C.V1、V2、V3导联呈QS型,ST段抬高,T波双向D.病理性Q波已发生半年,ST段仍持续抬高E.Ⅱ、Ⅲ、aVF、V5~6导
质量认证制度是由()对企业的产品及质量体系做出正确可靠的评价,从而使社会对企业的产品建立信心。
在登记账簿时,红色墨水不能用于()。
高校单位用于研究、教学参考的进口音像制品,不得用于进行经营性放映和()。
资金的时间价值率是扣除了()因素后的平均资金利润率或平均报酬率。
根据合伙企业法的规定,下列选项中,属于普通合伙企业合伙人当然退伙的情形是()。
教学目标是国家对各种教学的统一要求,也是检查和评定学生学业成绩和衡量教师教学质量的重要依据。()
用高级程序设计语言编写的程序称为( )。
Foreignexchangemarketsareelectroniccommunicationsystemsthat(56)majorfinancialcentersthroughouttheworld.Exchang
AsanimmigranttoNorthAmerican,youwillneedtoensurethatemployersandorganizationssuchascollegesanduniversitiespr
最新回复
(
0
)