首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3。
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3。
admin
2018-04-14
60
问题
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3。
选项
答案
方法一:由麦克劳林公式得 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]f"(0)x
2
+[*]f"’(η)x
3
, 其中η介于0与x之间,x∈[-1,1]。分别令x=-1,x=1并结合已知条件得 f(-1)=f(0)+[*]f"’(η
1
)=0,-1<η
2
<0, f(1)=f(0)+[*]f"’(η
2
)=1,0<η
2
<1, 两式相减,得 f"’(η
2
)+f"’(η
1
)=6。 由f"’(x)的连续性,知f"’(x)在区间[η
1
,η
2
]上有最大值和最小值,设它们分别为M和m,则有 m≤1/2[f"’(η[2])+f"’(η
1
)]≤M。 再由连续函数的介值定理知,至少存在一点ξ∈[η
1
,η
2
][*](-1,1),使 f"’(ξ)=1/2[f"’(η
2
)+f"’(η
1
)]=3。 方法二:构造函数φ(x),使得x∈[-1,1]时φ’(x)有三个零点,φ"(x)有两个零点,从而使用罗尔定理证明ξ必然存在。 设具有三阶连续导数φ(x)=f(x)+ax
3
+bx
2
+cx+d。令 [*] 再代入φ(x)得φ(x)=f(x)-[*]x
3
+[f(0)-[*]]x
2
-f(0)。 由罗尔定理可知,存在η
1
∈(-1,0),η
2
∈(0,1),使φ’(η
1
)=0,φ’(η
2
)=0,又因为φ’(0)=0,再由罗尔定理可知,存在ξ
1
∈(η
1
,0),ξ
2
∈(0,η
2
),使得φ"(ξ
1
)=0,φ"(ξ
2
)=0,再由罗尔定理知,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](η
1
,η
2
)[*](-1,1),使 φ"’(ξ)=f"’(ξ)-3=0, 即f"’(ξ)=3。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mRk4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]2=x,且f’(0)=0,则
已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x),其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=(x)在点(6,f(6))处的切线方程.
曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围成的图形的面积可表示为().
在曲线y=(x-1)2上的点(2,1)处作曲线的法线,由该法线、x轴及该曲线所围成的区域为D(y≥0),则区域D绕x轴旋转一周所成的几何体的体积为________.
化二重积分为二次积分(写出两种积分次序).(1)D={(x,y)||x|≤1,|y|≤1}.(2)D是由y轴,y=1及y=x围成的区域.(3)D是由x轴,y=lnx及x=e围成的区域.(4)D是由x轴,圆x2+y2-2x=0在第一象限的部分及直线x
利用求复合函数偏导的方法,得[*]
(2001年试题,四)求极限记此极限为f(x),求函数f(x)的间断点并指出其类型.
设函数f(x)=x2(x-1)(x-2),则f’(x)的零点个数为
因为x→0+时,[*]所以[*]注解该题考查等价无穷小求极限的方法,当x→0常用的等价无穷小有:(1)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ex-1~ln(1+x);(2)1-cosx~,1-cosax~(3)(1+x)a-1~a
随机试题
通用寄存器组的相关有两种解决办法,分别是_______和_______。
《儿女英雄传》的题材类型是()
患者男,84岁。近期出现记忆力下降,静止性震颤,临床诊断为帕金森病。早期,轻症的首先药物为
肛周脓肿常见的后遗症是内痔环切术常有的后遗症是
请简述世亚行对国际竞争性招标(ICB)的审查程序。
《室外排水设计规范》规定,污水管道最小管径为()mm。
19世纪末,维新变法从一种思潮得以发展为一场政治运动,关键是()。
Inthepresenteconomic_______wecanmakeevengreaterprogressthanpreviously.
Demographyisthestatisticalstudyofhumanpopulations.Itcanbeageneralsciencethatcanbeappliedtoanykindof
Ialwayspreferstartingearly,ratherthan(leave)______everythingtothelastminute.
最新回复
(
0
)