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设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3。
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3。
admin
2018-04-14
66
问题
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3。
选项
答案
方法一:由麦克劳林公式得 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]f"(0)x
2
+[*]f"’(η)x
3
, 其中η介于0与x之间,x∈[-1,1]。分别令x=-1,x=1并结合已知条件得 f(-1)=f(0)+[*]f"’(η
1
)=0,-1<η
2
<0, f(1)=f(0)+[*]f"’(η
2
)=1,0<η
2
<1, 两式相减,得 f"’(η
2
)+f"’(η
1
)=6。 由f"’(x)的连续性,知f"’(x)在区间[η
1
,η
2
]上有最大值和最小值,设它们分别为M和m,则有 m≤1/2[f"’(η[2])+f"’(η
1
)]≤M。 再由连续函数的介值定理知,至少存在一点ξ∈[η
1
,η
2
][*](-1,1),使 f"’(ξ)=1/2[f"’(η
2
)+f"’(η
1
)]=3。 方法二:构造函数φ(x),使得x∈[-1,1]时φ’(x)有三个零点,φ"(x)有两个零点,从而使用罗尔定理证明ξ必然存在。 设具有三阶连续导数φ(x)=f(x)+ax
3
+bx
2
+cx+d。令 [*] 再代入φ(x)得φ(x)=f(x)-[*]x
3
+[f(0)-[*]]x
2
-f(0)。 由罗尔定理可知,存在η
1
∈(-1,0),η
2
∈(0,1),使φ’(η
1
)=0,φ’(η
2
)=0,又因为φ’(0)=0,再由罗尔定理可知,存在ξ
1
∈(η
1
,0),ξ
2
∈(0,η
2
),使得φ"(ξ
1
)=0,φ"(ξ
2
)=0,再由罗尔定理知,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](η
1
,η
2
)[*](-1,1),使 φ"’(ξ)=f"’(ξ)-3=0, 即f"’(ξ)=3。
解析
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