设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。利用上问的结果判断矩阵B一CTA－1C是否为正定矩阵，并证明结论。

admin2018-02-07 39

问题设D=

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。
利用上问的结果判断矩阵B一C^TA^－1C是否为正定矩阵，并证明结论。

选项

答案由上问中结果知矩阵D与矩阵M=[*]合同，又因D是正定矩阵，所以矩阵M为正定矩阵，从而可知M是对称矩阵，那么B一C^TA^－1C是对称矩阵。对m维零向量x=(0，0，…，0)^T和任意n维非零向量y=(y₁，y₂，…y_n)^T，都有 [*]＞0，即 y^T(B一C^TA^－1C)y＞0，依定义，y^T(B一C^TA^－1C)y为正定二次型，所以矩阵B—C^TA^－1C为正定矩阵。

解析

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