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设线性方程组 x1+a1x2+a12x3=a13; x1+a2x2+a22x3=a23; x1+a3x2+a32x3=a33; x1+a4x2+a42x3=a43; β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一?并求出一般表达式．
设线性方程组 x1+a1x2+a12x3=a13; x1+a2x2+a22x3=a23; x1+a3x2+a32x3=a33; x1+a4x2+a42x3=a43; β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一?并求出一般表达式．
admin
2013-02-27
43
问题
设线性方程组
x
1
+a
1
x
2
+a
1
2
x
3
=a
1
3
;
x
1
+a
2
x
2
+a
2
2
x
3
=a
2
3
;
x
1
+a
3
x
2
+a
3
2
x
3
=a
3
3
;
x
1
+a
4
x
2
+a
4
2
x
3
=a
4
3
;
β可由α
1
，α
2
，α
3
线性表出，但表示不唯一?并求出一般表达式．
选项
答案
若a=-4，且3b-c=1，有r(A)=r(A)=2<3，方程组有无穷多组解，即β可由α
1
，α
2
，α
3
线性表出，且表示法不唯一． 此时，增广矩阵化简为 [*] 取x
1
为自由变量，解出x
1
=t， x
3
=26+1，x
2
=-2t-b-1， 即β=tα
1
-(2t+b+1)α
2
+(2b+1)α
3
，其中t为任意常数．
解析
β能否由α
1
，α
2
，α
3
线性表出等价于方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β是否有解．通常用增
广矩阵作初等行变换来讨论．本题是三个方程三个未知数，因而也可从系数行列式讨论．
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考研数学三
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