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  3. 设随机变量X和Y相互独立同分布，其分布函数和概率密度分别为F(x)和f(x)，则随机变量Z=min{X，Y}的概率密度为

设随机变量X和Y相互独立同分布，其分布函数和概率密度分别为F(x)和f(x)，则随机变量Z=min{X，Y}的概率密度为

admin2020-08-03  27
问题 设随机变量X和Y相互独立同分布，其分布函数和概率密度分别为F(x)和f(x)，则随机变量Z=min{X，Y}的概率密度为
选项 A、2F(x)f(x)
B、2[1-F(x)]f(x)
C、2[1-f(x)]F(x)
D、2[1-F(x)][1-f(x)]
答案B
解析 本题考查随机变量的最大值、最小值分布问题．利用分布函数法解之即可．
    解：因FZ(x)=P{min(X，Y)≤x}=1-P{min(X，Y)＞x}
    =1-P{X＞x，y＞x}=1-P{X＞x}P{Y＞x)=1-[1-F(x)]2，
故fZ(x)=FZ(x)=2[1-F(x)]f(x).
    注：要掌握以下随机变量的最大值、最小值函数的处理方法：
    P{max(X，Y)≤C}=P{X≤C，Y≤C}，
    P{max(X，Y)＞C}=1-P{max(X，Y)≤C}=1-P{X≤C，Y≤C}
    =P{X>C}+P{Y>C}-P{X>C，Y>C}；
    P{min(X，Y)>C}=P{X>C，Y>C}，
    P{min(X，Y)≤C}=1-P{min(X，y)＞C}=1-P{X>C，y>C}
    =P{X≤C)+P{Y≤C}-P{X≤C，y≤C}．
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考研数学一

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