设x∈(0，1)，证明下面不等式： (1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；(2)．

admin2019-07-22 46

问题设x∈(0，1)，证明下面不等式：
(1)(1+x)ln²(1+x)＜x²；(2)

．

选项

答案(1)令φ(x)=x²一(1+x)ln²(1+x)，有φ(0)=0，且 φ’(x)=2x—ln²(1+x)一2ln(1+x)，φ’(0)=0．当x∈(0，1)时，φ"(x)=[*][x一ln(1+x)]＞0。则φ’(x)单调递增．从而φ’(x)＞φ’(0)=0，则φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln²(1+x)＜x²． [*]

解析

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