设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明: (Ⅰ)存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)+ξf’(ξ)=0; (Ⅱ)存在一点η∈(a,b),使得ηf(η)+f’(η)=0。

admin2017-01-18  23

问题 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明:
  (Ⅰ)存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)+ξf’(ξ)=0;
  (Ⅱ)存在一点η∈(a,b),使得ηf(η)+f’(η)=0。

选项

答案(Ⅰ)设φ(x)=xf(x),则φ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且φ(a)=φ(b)=0,由罗尔定理得存在ξ∈(a,b),使φ’(ξ)=0,即f(ξ)+ξf’(ξ)=0。 (Ⅱ)设F(x)=[*],则F(x)在[a,b]连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理得,存在η∈(a,b),使 F’(η)=[*].η.f(η)=0,即ηf(η)+f’(η)=0。

解析
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