设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=-1，已知曲线积分∫L[xe2x-6f(x)]sinydx-[5f(x)-f’(x)]cosydy与路径无关，则f(x)=_____．

admin2017-10-25 25

问题设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=-1，已知曲线积分∫_L[xe^2x-6f(x)]sinydx-[5f(x)-f’(x)]cosydy与路径无关，则f(x)=_____．

选项

答案[*]x(x+2)e^2x

解析曲线积分与路径无关

，故有

{[f’(x)-5f(x)]cosy}=

{xe^2x-6f(x)]siny}，
即[f’’(x)-5f’(x)]cosy=[xe^2x-6f(x)]cosy，
消去cosy，整理得f’’-5f’+6f=xe^2x，
对应齐次方程的特征方程为r²-5r+6=(r-2)(r-3)=0，
对应齐次方程的通解为Y=C₁e^2x+C₂e^3x，
由于λ=2是特征根，故设f=x(Ax+B)e^2x，代入方程可求出A=