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证明数轴上任何闭区间[a,b]上的点是不可列的(不可列:[a,b]上的点不能与自然数集N+中的点一一对应).
证明数轴上任何闭区间[a,b]上的点是不可列的(不可列:[a,b]上的点不能与自然数集N+中的点一一对应).
admin
2022-11-23
60
问题
证明数轴上任何闭区间[a,b]上的点是不可列的(不可列:[a,b]上的点不能与自然数集N
+
中的点一一对应).
选项
答案
若[a,b]上的点是可列的,设其为x
1
,x
2
,…,x
n
,…,则[a,b]=[*]{x
k
}.将[a,b]四等分,其中必有一个不含x
1
,记为[a
1
,b
1
];再四等分[a
1
,b
1
],其中必有一个不含有x
2
.记为[a
2
,b
2
],易见x
1
,x
2
均不在其中,如此重复进行,得到闭区间列{[a
n
,b
n
])且[a
1
,b
1
][*][a
2
,b
2
][*][a
3
,b
3
][*]同时x
1
,x
2
,…,x
n
不含在[a
n
,b
n
]中(n=1,2,…),因而根据闭区间套定理,存在唯一的实数ξ属于所有区间[a
n
,b
n
],但ξ≠x
n
(n=1,2,…),也即有ξ[*][a,b],矛盾,故[a,b]上的点不可列.
解析
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考研数学一
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