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  3. 证明数轴上任何闭区间[a，b]上的点是不可列的(不可列：[a，b]上的点不能与自然数集N+中的点一一对应)．

证明数轴上任何闭区间[a，b]上的点是不可列的(不可列：[a，b]上的点不能与自然数集N+中的点一一对应)．

admin2022-11-23  27
问题 证明数轴上任何闭区间[a，b]上的点是不可列的(不可列：[a，b]上的点不能与自然数集N+中的点一一对应)．
选项
答案若[a，b]上的点是可列的，设其为x1，x2，…，xn，…，则[a，b]=[*]{xk}．将[a，b]四等分，其中必有一个不含x1，记为[a1，b1]；再四等分[a1，b1]，其中必有一个不含有x2．记为[a2，b2]，易见x1，x2均不在其中，如此重复进行，得到闭区间列{[an，bn])且[a1，b1][*][a2，b2][*][a3，b3][*]同时x1，x2，…，xn不含在[an，bn]中(n=1，2，…)，因而根据闭区间套定理，存在唯一的实数ξ属于所有区间[an，bn]，但ξ≠xn(n=1，2，…)，也即有ξ[*][a,b]，矛盾，故[a，b]上的点不可列．
解析
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考研数学一

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