2. 考研
  3. 已知二次型 f（x1，x2，x3）=（1—a）x12+（1—a）x22+2x32 +2（1 +a）x1x2的秩为2。 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形； （Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

已知二次型 f（x1，x2，x3）=（1—a）x12+（1—a）x22+2x32 +2（1 +a）x1x2的秩为2。 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形； （Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

admin2017-01-21  23
问题 已知二次型 f（x1，x2，x3）=（1—a）x12+（1—a）x22+2x32 +2（1 +a）x1x2的秩为2。
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；
（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。
选项
答案（Ⅰ）二次型矩阵 [*] 二次型的秩为2，则二次型矩阵A的秩也为2，从而 [*] 因此a=0。 （Ⅱ）由（Ⅰ）中结论a=0，则 [*] 由特征多项式 |λE—A|=[*]=（λ—2）[（λ—1）2—1] =λ（λ—2）2 得矩阵A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0。 当λ=2，由（2E—A）x=0得特征向量α1=（1，1，0）T，α2=（0，0，1）T。 当λ=0，由（0E—A）x=0得特征向量α3=（1，—1，0）T 。 容易看出α1，α2，α3已两两正交，故只需将它们单位化： γ1=[*]（1，1，0）T，γ2=（0，0，1）T，γ3=[*]（1，—1，0） T。 那么令Q=（γ1，γ2，γ3）=[*] 则在正交变换x=Qy下，二次型f（x1，x2，x3）化为 标准形f（x1，x2，x3）=xTAx=yTΛy=2y12+ 2y22。 （Ⅲ）由f（x1，x2，x3）=x12+x22+2x32+2x1x2=（x1+x2）2+2x32=0，得 [*] 所以方程f（x1，x2，x3）=0的通解为k（1，—1，0）T，其中k为任意常数。
解析
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考研数学三

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