已知二次型 f（x1，x2，x3）=（1—a）x12+（1—a）x22+2x32 +2（1 +a）x1x2的秩为2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

admin2017-01-21 37

问题已知二次型 f（x₁，x₂，x₃）=（1—a）x₁²+（1—a）x₂²+2x₃² +2（1 +a）x₁x₂的秩为2。
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x₁，x₂，x₃）化为标准形；
（Ⅲ）求方程f（x₁，x₂，x₃）=0的解。

选项

答案（Ⅰ）二次型矩阵 [*] 二次型的秩为2，则二次型矩阵A的秩也为2，从而 [*] 因此a=0。（Ⅱ）由（Ⅰ）中结论a=0，则 [*] 由特征多项式 |λE—A|=[*]=（λ—2）[（λ—1）²—1] =λ（λ—2）² 得矩阵A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=0。当λ=2，由（2E—A）x=0得特征向量α₁=（1，1，0）^T，α₂=（0，0，1）^T。当λ=0，由（0E—A）x=0得特征向量α₃=（1，—1，0）^T 。容易看出α₁，α₂，α₃已两两正交，故只需将它们单位化： γ₁=[*]（1，1，0）^T，γ₂=（0，0，1）^T，γ₃=[*]（1，—1，0） ^T。那么令Q=（γ₁，γ₂，γ₃）=[*] 则在正交变换x=Qy下，二次型f（x₁，x₂，x₃）化为标准形f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx=y^TΛy=2y₁²+ 2y₂²。（Ⅲ）由f（x₁，x₂，x₃）=x₁²+x₂²+2x₃²+2x₁x₂=（x₁+x₂）2+2x₃²=0，得 [*] 所以方程f（x₁，x₂，x₃）=0的通解为k（1，—1，0）^T，其中k为任意常数。

解析

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考研数学三

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已知二次型 f（x1，x2，x3）=（1—a）x12+（1—a）x22+2x32 +2（1 +a）x1x2的秩为2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

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设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φˊy(x，y)≠0，已知(xo，yo)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)＝0下的一个极值点，下列选项正确的是()．

设A和B是任意两个概率不为0的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是()．

设y＝sinx，0≤x≤π／2，t为_______时，右图中阴影部分的面积．S1与S2之和S最小．

设线性方程组x1+x2+x3=0；x1+2x2+ax3=0；x1+4x2+a2x3=0；与方程x1+2x2+x3=a-1；有公共解，求a的值及所有公共解．

设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩=秩(A)，则线性方程组

设α1，α2，...，αs均为n维向量，下列结论不正确的是

设A=β=当实数α为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解．

设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

设f(x)在(一∞，+∞)上连续，则下列命题中错误的是

袋中有12只球，其中红球4个，白球8个，从中一次抽取两个球，求—F3i事件发生的概率：(1)两个球中一个是红球一个是白球；(2)两个球颜色相同．

某直流负载，电阻为1．5kΩ，要求工作电流为10mA，若采用单相半波整流电路，试求整流变压器二次侧电压有效值，并选择整流二极管的有关参数。

含有乙炔基的药物是

糖类纸色谱显色剂是

混凝土的强度与试件尺寸有关的现象称为尺寸效应。形状相同的试件，试验测得的强度随试件的尺寸减小而()。

根据《水利工程质量监督管理规定》(水建[1997]339号)，下列说法正确的是()。

根据《建设工程工程量清单计价规范》(GB50500-2013)，发包人支付安全文明施工费预付款的时间和金额分别为()。[2015年真题]

与货币供应量M0相对应的货币乘数K0为()为扩大内需，中央银行利用差别利率政策，使r降为5%，s变为40%，e变为10%，这样，K1、K2、K3分别改变为()

3个3口之家一起观看演出，他们购买了同一排的9张连座票，现要求一家人必须坐在一起，问有多少种不同的坐法?

价值评价是一种关于价值现象的认识活动，价值评价在实践过程中具有重要作用，主要体现在

设f(x)在(－∞,+∞)内可导,且对任意x1，x2，当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2),则________。

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