已知二次型 f(x1,x2,x3)=(1—a)x12+(1—a)x22+2x32 +2(1 +a)x1x2的秩为2。 (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化为标准形; (Ⅲ)求方程f(x1,x2,x3)=0的解。

admin2017-01-21  22

问题 已知二次型 f(x1,x2,x3)=(1—a)x12+(1—a)x22+2x32 +2(1 +a)x1x2的秩为2。
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化为标准形;
(Ⅲ)求方程f(x1,x2,x3)=0的解。

选项

答案(Ⅰ)二次型矩阵 [*] 二次型的秩为2,则二次型矩阵A的秩也为2,从而 [*] 因此a=0。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结论a=0,则 [*] 由特征多项式 |λE—A|=[*]=(λ—2)[(λ—1)2—1] =λ(λ—2)2 得矩阵A的特征值λ12=2,λ3=0。 当λ=2,由(2E—A)x=0得特征向量α1=(1,1,0)T,α2=(0,0,1)T。 当λ=0,由(0E—A)x=0得特征向量α3=(1,—1,0)T 。 容易看出α1,α2,α3已两两正交,故只需将它们单位化: γ1=[*](1,1,0)T,γ2=(0,0,1)T,γ3=[*](1,—1,0) T。 那么令Q=(γ1,γ2,γ3)=[*] 则在正交变换x=Qy下,二次型f(x1,x2,x3)化为 标准形f(x1,x2,x3)=xTAx=yTΛy=2y12+ 2y22。 (Ⅲ)由f(x1,x2,x3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0,得 [*] 所以方程f(x1,x2,x3)=0的通解为k(1,—1,0)T,其中k为任意常数。

解析
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