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  3. 设对称矩阵A=，求正交矩阵P使PTAP为对角矩阵．

设对称矩阵A=，求正交矩阵P使PTAP为对角矩阵．

admin2019-05-09  22
问题 设对称矩阵A=，求正交矩阵P使PTAP为对角矩阵．
选项
答案因为矩阵A是对称矩阵，所以其特征值都是实数，且对应的特征向量都线性无关，先求出特征值，然后求出相应的特征向量，最后把特征向量正交单位化就可以求出正交矩阵． (1)首先求特征值． ｜λI一A｜=[*]=λ2(λ一4)， 特征值为λ1=0(三重)，λ2=4． (2)其次求特征向量． 当λ1=0时，求(λ1I—A)x=0的基础解系 [*] 解之得基础解系为 α1=(一1，1，0，0)T，α2=(一1，0，1，0)T， α3=(一1，0，0，1)T， 将α1，α2，α3正交化，得 β1一α1=(一1，1，0，0)T， [*] 再将β1，β2，β3单位化，得 [*] 当λ2=4时．求(λ2I一A)x=0的基础解系 [*] 得基础解系为 α4=(1，1，1，1)T， 将α4=(1，1，1，1)T单位化，得 η4=[*](1，1，1，1)T． (3)令P=(η1，η2，η3，η4)，则有 PTAP=[*]
解析
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线性代数（经管类）

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