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设f(x)在闭区间[0,1]上连续,,证明在开区间(0,1)内存在两个不同的ξ1与ξ2使f(ξ1)=0,f(ξ2)=0.
设f(x)在闭区间[0,1]上连续,,证明在开区间(0,1)内存在两个不同的ξ1与ξ2使f(ξ1)=0,f(ξ2)=0.
admin
2019-01-24
55
问题
设f(x)在闭区间[0,1]上连续,
,证明在开区间(0,1)内存在两个不同的ξ
1
与ξ
2
使f(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)=0.
选项
答案
令[*],有F'(x)=f(x),F(0)=0,F(1)=0,则 [*] 所以存在ξ∈(0,1)
【注】
,使F(ξ)e
ξ
=0.但e
ξ
≠0,所以F(ξ)=0.由于已有 F(0)=0,F(ξ)=0,F(1)=0, 所以根据罗尔定理知,存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,1),使 F'(ξ
1
)=0,F'(ξ
2
)=0, 即f(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)=0,其中ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,1),证毕. 【注】积分中值定理,在定理条件下,一般教科书只写存在ξ∈[a,b],使f(ξ)(b-a)=[*].但实际上,这里可以取ξ∈(a,b),即结论更好.同济大学《高等数学(上册)》(第七版)P242例6有此结论.
解析
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考研数学一
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