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  3. 设f(x)在闭区间[0，1]上连续，，证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ1与ξ2使f(ξ1)＝0，f(ξ2)＝0．

设f(x)在闭区间[0，1]上连续，，证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ1与ξ2使f(ξ1)＝0，f(ξ2)＝0．

admin2019-01-24  55
问题 设f(x)在闭区间[0，1]上连续，，证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ1与ξ2使f(ξ1)＝0，f(ξ2)＝0．
选项
答案令[*]，有F＇(x)＝f(x)，F(0)＝0，F(1)＝0，则 [*] 所以存在ξ∈(0，1)【注】，使F(ξ)eξ＝0．但eξ≠0，所以F(ξ)＝0．由于已有 F(0)＝0，F(ξ)＝0，F(1)＝0， 所以根据罗尔定理知，存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，1)，使 F＇(ξ1)＝0，F＇(ξ2)＝0， 即f(ξ1)＝0，f(ξ2)＝0，其中ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，1)，证毕． 【注】积分中值定理，在定理条件下，一般教科书只写存在ξ∈[a，b]，使f(ξ)(b－a)＝[*]．但实际上，这里可以取ξ∈(a，b)，即结论更好．同济大学《高等数学（上册）》（第七版）P242例6有此结论．
解析
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考研数学一

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