设f(x)在[a，b]上具有一、二阶导数，f(a)=f(b)=0，又F(x)=(x一a)2f(x)．证明F(x)在(a，b)内至少存在一点ζ，使F’’(ζ)=0．

admin2019-03-07 39

问题设f(x)在[a，b]上具有一、二阶导数，f(a)=f(b)=0，又F(x)=(x一a)²f(x)．证明F(x)在(a，b)内至少存在一点ζ，使F^’’(ζ)=0．

选项

答案显然，F(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，故存在η∈(a，b)，使F^’(η)=0，又由F^’(x)=2(x一a)f(x)+(x一a)²f^’(x)，知F^’(a)=0．因此，F^’(x)在[a，η]上满足罗尔定理条件，故存在ζ∈(a，η)[*](a，b)，使得F^’’(ζ)=0．

解析

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高等数学二

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