设f(x)在(-∞,+∞)连续,以T为周期,令F(x)=f(t)dt,求证: (Ⅰ)F(x)一定能表成:F(x)=kx+φ(x),其中k为某常数,φ(x)是以T为周期的周期函数; (Ⅱ)f(x)dx; (Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(-∞,+∞)),n为自

admin2016-10-26  31

问题 设f(x)在(-∞,+∞)连续,以T为周期,令F(x)=f(t)dt,求证:
(Ⅰ)F(x)一定能表成:F(x)=kx+φ(x),其中k为某常数,φ(x)是以T为周期的周期函数;
(Ⅱ)f(x)dx;
(Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(-∞,+∞)),n为自然数,则当nT≤x<(n+1)T时,有
nf(x)dx.

选项

答案(Ⅰ)即确定常数k,使得φ(x)=F(x)-kx以T为周期.由于 φ(x+T)=F(x+T)-k(x+T)=[*]f(t)dt-kT =φ(x)+[*]f(t)dt-kT, 因此,取k=[*]f(t)dt,φ(x)=F(x)-kx,则φ(x)是以T为周期的周期函数.此时 F(x)=[[*]f(t)dt]x+φ(x). (Ⅱ)不能用洛必达测.因为[*]f(x)不存在.但[*]f(t)dt可表成 [*]f(t)dt+φ(x). φ(x)在(-∞,+∞)连续且以T为周期,于是,φ(x)在[0,T]有界,在(-∞,+∞)也有界.因此 [*]f(t)dt. (Ⅲ)因f(x)≥0,所以当nT≤x<(n+1)T时, [*]

解析
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