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(2011年真题)设f(x)在[0,2]上单调连续,f(0)=1,f(2)=2,且对任意x1,x2∈[0,2]总有,g(x)是f(x)的反函数,P=∫12g(x)dx,则[ ]。
(2011年真题)设f(x)在[0,2]上单调连续,f(0)=1,f(2)=2,且对任意x1,x2∈[0,2]总有,g(x)是f(x)的反函数,P=∫12g(x)dx,则[ ]。
admin
2015-04-14
67
问题
(2011年真题)设f(x)在[0,2]上单调连续,f(0)=1,f(2)=2,且对任意x
1
,x
2
∈[0,2]总有
,g(x)是f(x)的反函数,P=∫
1
2
g(x)dx,则[ ]。
选项
A、3<P<4
B、2<P<3
C、1<P<2
D、0<P<1
答案
D
解析
本题考查曲线凹、凸的定义,函数与反函数关系及定积分的几何意义。根据题设条件:对任意x
1
,x
2
∈[0,2]总有
,可知曲线f(x)在[0,2]上是凸的,因f(x)在[0,2]上单调连续和f(0)=1,f(2)=2,所以f(x)在[0,2]上单调递增,进而f(x)>0,x∈[0,2],又g(x)是f(x)的反函数,因此,g(1)=0,g(2)=2,g(x)在[0,2]上是凹的,且g(x)>0,x∈[1,2]。
如图4.10所示,曲线CD是f(x)的图形,曲线AC是g(x)的图形.由定积分的几何意义,P=∫
1
2
g(x)dx表示图4.10中曲边三角形ABC的面积,显然P=∫
1
2
g(x)dx>0,而且P=∫
1
2
g(x)dx小于直边三角形ABC的面积,即P=∫
1
2
g(x)dx<
×1×2=1。因此有0<P=∫
1
2
g(x)dx<1。故正确选项为D。注特殊值代入法。取f(x)=
+1,则g(x)=2(x-1)
2
,所以0<P=∫
1
2
g(x)dx=∫
1
2
2(x-1)
2
dx=
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