首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A,B均为n阶矩阵,A有n个互不相同的特征值. 证明:(1)若AB=BA,则B相似于对角矩阵; (2)若A的特征向量也是B的特征向量,则AB=BA.
设A,B均为n阶矩阵,A有n个互不相同的特征值. 证明:(1)若AB=BA,则B相似于对角矩阵; (2)若A的特征向量也是B的特征向量,则AB=BA.
admin
2020-03-10
92
问题
设A,B均为n阶矩阵,A有n个互不相同的特征值.
证明:(1)若AB=BA,则B相似于对角矩阵;
(2)若A的特征向量也是B的特征向量,则AB=BA.
选项
答案
设λ
1
,λ
2
,…,λ
n
为A的n个互不相同的特征值,则A有n个线性无关特征向量p
1
,p
2
,…,p
n
,记可逆矩阵P=[p
1
,p
2
,…,p
n
],有 [*] (1)由AB=BA得P
-1
ABP=P
-1
BAP,于是P
-1
AEBP=P
-1
BEAP. 令E=PP
-1
,有 (P
-1
AP)(P
-1
BP)=(P
-1
BP)(P
-1
AP), 即 A
1
(P
-1
BP)=(P
-1
BP)A
1
. 下面证明P
-1
BP是对角矩阵. 设P
-1
BP=(c
ij
)
n×n
,则 [*] 比较两边对应元素得 λ
i
c
ij
=λ
j
c
ij
[*](λ
i
一λ
j
)c
ij
=0, 当i≠j时,λ
i
≠λ
j
,则c
ij
=0,故 [*] 从而B相似于对角矩阵. (2)若p
i
(i=1,2,…,n)也是B的特征向量,设对应特征值为μ
i
,即 Bp
i
=μ
i
p
i
(i=1,2,…,n), 则有 [*] 从而 P
-1
ABP=P
-1
AEBP=(P
-1
AP)(P
-1
BP)=A
1
A
2
=A
2
A
1
=(P
-1
BP)(P
-1
AP)=P
-1
BAP, 由此可得 AB=BA.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nAD4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
已知A是三阶矩阵,r(A)=1,则λ=0()
设α1,α2,…,αs是n维向量,则下列命题中正确的是
设则下列选项中是A的特征向量的是()
设y=y(x)为微分方程2xydx+(x2一1)dy=0满足初始条件Y(0)=1的解,则为().
设曲面z=f(x,y)二次可微,且,证明对任给的常数C,f(x,y)=C为一条直线的充要条件是
设f(x)在区间[2,4]上具有二阶连续导数f’’(x),且f(3)=0,证明存在一点ξ∈(2,4),使得
设两曲线与在(x,y0)处有公切线,求这两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成旋转体体积V。
设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。计算PTDP,其中P=。
求∫(arccosx)2dx.
随机试题
BecauseoftheCOVID-19,onlinestudyingisbecoming________(popular)thanbefore.
耶律楚材,字晋卿,号湛然居士,今存《__________》14卷。
"亢则害,承乃制"说明了五行之间的什么关系()
在统计行政诉讼的双方当事人中,被告为()。
副溶血性弧菌引起食物中毒的主要食品是()。
某城区从事老人服务的六位社会工作者每月都聚在一起开督导会议,讨论在老人服务中遇到的困难、障碍及其应对方法,每次会议推选一位成员轮流主持,每位成员都有主持会议的机会。这种督导形式的特点包括()。
与石涛合称“二石”的是()。
函适用于不相隶属机关、平级机关之间商洽工作、询问和答复问题,请求批准和答复审批事项。()
TheEmancipationProclamationtoendtheslaveryplantationsystemintheSouthoftheUSwasissuedby
A、Itispartoftheirlocalheritage.B、Itisanattractionoftourists.C、Itistherevivalofmorals.D、ItisthemiracleofG
最新回复
(
0
)