设α=(1，0，1)T，A=ααT，若B=(kE+A)*是正定矩阵，则k的取值范围是__________。

admin2019-01-23 56

问题设α=(1，0，1)^T，A=αα^T，若B=(kE+A)^*是正定矩阵，则k的取值范围是__________。

选项

答案k>0或k<一2

解析矩阵A=αα^T的秩为1，且tr(A)=α^Tα^T=2，故矩阵A的特征值是2，0，0，从而矩阵kE+A的特征值是k+2，k，k。矩阵B=(kE+A)^*=|kE+A|(kE+A)^-1的特征值是k²，k(k+2)，k(k+2)。
矩阵B正定的充要条件是特征值均大于零，即k²＞0且k(k+2)>0，解得k>0或k<一2。

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