证明级数条件收敛。

admin2019-01-15 136

问题证明级数

条件收敛。

选项

答案令[*]，n=2，3，…，则[*]。因为级数[*]发散，所以由比较判别法可知，级数[*]发散，即级数[*]不绝对收敛。注意到原级数[*]虽然是交错级数，但数列[*]并没有单调性，所以不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。转而考虑其部分和数列{s_2n}{s_2n+1}。因为(注意部分和数列从k=2开始) [*] 并且 [*] 即数列{s_2n}单调递减有下界，所以由单调有界原理可知数列{s_2n}收敛。再由s_2n+1=s_2n+a_2n+2，且[*]，可知数列{s_2n+1}也收敛，且[*]，所以部分和数列{s_n}收敛。由级数收敛的定义可知，级数[*]收敛，从而级数[*]条件收敛。

解析

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