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  3. 设函数f(x)=ln x+． (I)求f(x)的最小值； (Ⅱ)设数列{xn}满足ln xn+＜1．证明xn存在，并求此极限．

设函数f(x)=ln x+． (I)求f(x)的最小值； (Ⅱ)设数列{xn}满足ln xn+＜1．证明xn存在，并求此极限．

admin2022-09-22  102
问题 设函数f(x)=ln x+．
    (I)求f(x)的最小值；
    (Ⅱ)设数列{xn}满足ln xn+＜1．证明xn存在，并求此极限．
选项
答案(I)f(x)的定义域为x＞0，且f’(x)=[*]令f’(x)=0，解得唯一驻点x=1． 当0＜x＜1时，f’(x)＜0；当x＞1时，f’(x)＞0． 因此x=1是f(x)的极小值点，并且是最小值点，最小值为f(1)=1． (Ⅱ)由(I)知ln xn+[*]≥1，又ln xn+[*]＜1， 可知[*]，即xn+1＞xn．因此数列{xn}单调递增． 又由ln xn+[*]＜1可知ln xn＜1，得0＜xn＜e，所以数列{xn}有上界． 由单调有界数列必收敛，可知[*]xn存在，并设其极限值为A． 将ln xn+[*]＜1两边取极限，得ln A+[*]＜1． 将ln xn+[*]≥1两边取极限，得ln A+[*]≥1． 因此ln A+[*]=1，解得A=1，即[*]xn=1．
解析
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考研数学二

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