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设函数f(x)=ln x+. (I)求f(x)的最小值; (Ⅱ)设数列{xn}满足ln xn+<1.证明xn存在,并求此极限.
设函数f(x)=ln x+. (I)求f(x)的最小值; (Ⅱ)设数列{xn}满足ln xn+<1.证明xn存在,并求此极限.
admin
2022-09-22
63
问题
设函数f(x)=ln x+
.
(I)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)设数列{x
n
}满足ln x
n
+
<1.证明
x
n
存在,并求此极限.
选项
答案
(I)f(x)的定义域为x>0,且f’(x)=[*]令f’(x)=0,解得唯一驻点x=1. 当0<x<1时,f’(x)<0;当x>1时,f’(x)>0. 因此x=1是f(x)的极小值点,并且是最小值点,最小值为f(1)=1. (Ⅱ)由(I)知ln x
n
+[*]≥1,又ln x
n
+[*]<1, 可知[*],即x
n+1
>x
n
.因此数列{x
n
}单调递增. 又由ln x
n
+[*]<1可知ln x
n
<1,得0<x
n
<e,所以数列{x
n
}有上界. 由单调有界数列必收敛,可知[*]x
n
存在,并设其极限值为A. 将ln x
n
+[*]<1两边取极限,得ln A+[*]<1. 将ln x
n
+[*]≥1两边取极限,得ln A+[*]≥1. 因此ln A+[*]=1,解得A=1,即[*]x
n
=1.
解析
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考研数学二
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