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给定常数c>0,定义函数f(χ)=2|χ+c+4|-|χ+c|.数列a1,a2,a3,…满足an+1=f(an),n∈N+. (1)求证:对任意n∈N+,都有an+1-an≥c; (2)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?
给定常数c>0,定义函数f(χ)=2|χ+c+4|-|χ+c|.数列a1,a2,a3,…满足an+1=f(an),n∈N+. (1)求证:对任意n∈N+,都有an+1-an≥c; (2)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?
admin
2015-12-09
35
问题
给定常数c>0,定义函数f(χ)=2|χ+c+4|-|χ+c|.数列a
1
,a
2
,a
3
,…满足a
n+1
=f(a
n
),n∈N
+
.
(1)求证:对任意n∈N
+
,都有a
n+1
-a
n
≥c;
(2)是否存在a
1
,使得a
1
,a
2
,…,a
n
,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a
1
;若不存在,说明理由.
选项
答案
(1)因为c>0,故 ①χ≥-c时,f(χ)=2(χ+c+4)-(χ+c)=χ+c+8. 则a
n+1
-a
n
=f(a
n
)-a
n
=a
n
+c+8-a
n
=c+8>c; ②当-c-4≤χ<-c时,f(χ)=2(χ+c+4)+(χ+c)=3χ+3c+8,则a
n+1
-a
n
=f(a
n
)-a
n
=3a
n
+3c+8-a
n
=2a
n
+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c; ③当χ<-c-4时,f(χ)=-2(χ+c+4)+(χ+c)=-χ-c-8, 则a
n+1
-a
n
=f(a
n
)-a
n
=-a
n
-c-8-a
n
=-2a
n
-c-8>-2(-c-4)-c-8=c. 所以,对于任意n∈N
+
,都有a
n+1
-a
n
≥c. (2)假设存在a
1
,使得a
1
,a
2
,…,a
n
,…成等差数列. 则由(1)及c>0可得,a
n+1
>a
n
,即{a
n
}为无穷递增数列. 又因为{a
n
}为等差数列,所以存在正数N,当n>N时,a
n
≥-c,此时a
n+1
=f(a
n
)=a
n
+c+8, 则公差d=c+8. ①当a
1
<-c-4时,a
2
=f(a
1
)=-a
1
-c-8, 又因为a
2
=a
1
+d=a
1
+c+8,两式联立,得a
1
-c-8,a
2
=0. 则当n≥2时,因为{a
n
}为无穷递增数列,故a
n
≥a
2
=0>-c, 即当n≥2时,a
n+1
-a
n
=f(a
n
)-a
n
=c+8成立,又a
2
-a
1
=c+8, 故{a
n
}为无穷等差数列,首项a
1
=-c-8,公差d=c+8; ②当-c-4≤a
1
<-c时,a
2
=f(a
1
)=3a
1
+3c+8, 又因为a
2
=a
1
+d=a
1
+c+8,两式联立,得a
1
-c,a
2
=8,应舍去; ③当a
1
≥-c时,因为a
n
≥a
1
,则在n∈N
+
时,均有a
n+1
-a
n
=f(a
n
)-a
n
=c+8,故{a
n
}为无穷等差数列. 综上所述,存在a
1
,使得a
1
,a
2
,…,a
n
,…成等差数列,a
1
的取值范围为{-c-8}∪[-c,+∞).
解析
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