2. 公务员
  3. 给定常数c＞0，定义函数f(χ)＝2｜χ＋c＋4｜－｜χ＋c｜．数列a1，a2，a3，…满足an+1＝f(an)，n∈N+． (1)求证：对任意n∈N+，都有an+1－an≥c； (2)是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列?

给定常数c＞0，定义函数f(χ)＝2｜χ＋c＋4｜－｜χ＋c｜．数列a1，a2，a3，…满足an+1＝f(an)，n∈N+． (1)求证：对任意n∈N+，都有an+1－an≥c； (2)是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列?

admin2015-12-09  54
问题 给定常数c＞0，定义函数f(χ)＝2｜χ＋c＋4｜－｜χ＋c｜．数列a1，a2，a3，…满足an+1＝f(an)，n∈N+．
    (1)求证：对任意n∈N+，都有an+1－an≥c；
    (2)是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列?若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
选项
答案(1)因为c＞0，故 ①χ≥－c时，f(χ)＝2(χ＋c＋4)－(χ＋c)＝χ＋c＋8． 则an+1－an＝f(an)－an＝an＋c＋8－an＝c＋8＞c； ②当－c－4≤χ＜－c时，f(χ)＝2(χ＋c＋4)＋(χ＋c)＝3χ＋3c＋8，则an+1－an＝f(an)－an＝3an＋3c＋8－an＝2an＋3c＋8≥2(－c－4)＋3c＋8＝c； ③当χ＜－c－4时，f(χ)＝－2(χ＋c＋4)＋(χ＋c)＝－χ－c－8， 则an+1－an＝f(an)－an＝－an－c－8－an＝－2an－c－8＞－2(－c－4)－c－8＝c． 所以，对于任意n∈N+，都有an+1－an≥c． (2)假设存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列． 则由(1)及c＞0可得，an+1＞an，即{an}为无穷递增数列． 又因为{an}为等差数列，所以存在正数N，当n＞N时，an≥－c，此时an+1＝f(an)＝an＋c＋8， 则公差d＝c＋8． ①当a1＜－c－4时，a2＝f(a1)＝－a1－c－8， 又因为a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，两式联立，得a1－c－8，a2＝0． 则当n≥2时，因为{an}为无穷递增数列，故an≥a2＝0＞－c， 即当n≥2时，an+1－an＝f(an)－an＝c＋8成立，又a2－a1＝c＋8， 故{an}为无穷等差数列，首项a1＝－c－8，公差d＝c＋8； ②当－c－4≤a1＜－c时，a2＝f(a1)＝3a1＋3c＋8， 又因为a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，两式联立，得a1－c，a2＝8，应舍去； ③当a1≥－c时，因为an≥a1，则在n∈N+时，均有an+1－an＝f(an)－an＝c＋8，故{an}为无穷等差数列． 综上所述，存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列，a1的取值范围为{－c－8}∪[－c，＋∞)．
解析
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