求函数f(x,y)=xy一x一y在由抛物线y=4—x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。

admin2022-04-08  35

问题 求函数f(x,y)=xy一x一y在由抛物线y=4—x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。

选项

答案区域D如图1所示。 [*] (1)边界L1:y=0(0≤x≤2),此时(x,0)=[*]x,函数在此边界的最大值为f(0,0)=0,最小值为f(2,0)=[*]。 边界L2:x=0(0≤y≤4),则f(0,y)=一y,函数在此边界的最大值为f(0,0)=,最小值为f(0,4)=一4。 边界L3:y=4—x2(x≥0),则 [*] fxx’’(x,y)=0,fxy’’(x,y)=1,fyy’’(x,y)=0, 故AC—B2<0,函数在区域D内部不取极值。 综上所述,函数在区域D上的最大值为f(0,0)=0;最小值为f(0,4)=一4。

解析
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