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  3. 计算Dn=．

计算Dn=．

admin2016-06-25  14
问题 计算Dn=．
选项
答案把Dn按第一行展开，得 Dn=(α+β)Dn一1一αβ[*]=(α+β)Dn一1一αβDn一2． ① 把递推公式①改写成 Dn一αDn一1=β(Dn一1一αDn一2)， ② 继续用递推关系②递推，得 Dn一αDn一1=β(Dn一1一αDn一2)=β2(Dn一2一αDn一3)=…=βn一2(D2一αD1)， 而D2=(α+β)2一αβ，D1=α+β， Dn一αDn一1=βn一2(D2一αD1)=βn， ③ ③式递推得Dn=αDn一1+βn=α(αDn一2+βn一1)+βn =…=αn+αn一1β+αn一2β2+…+αβn一1+βn． 除了将①式变形得②式外，还可将①式改写成 Dn一βDn一1=α(Dn一1一βDn一2)． ④ 由④式递推可得 Dn一βDn一1=αn， ⑤ ③×β一⑤×α得 (β—α)Dn=βn+1+αn+1， β一α≠0时，有Dn=[*]=βn+αβn一1+…+βαn一1+αn．
解析
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考研数学二

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