计算Dn=．

admin2016-06-25 33

问题计算D_n=

．

选项

答案把D_n按第一行展开，得 D_n=(α+β)D_n一1一αβ[*]=(α+β)D_n一1一αβD_n一2． ① 把递推公式①改写成 D_n一αD_n一1=β(D_n一1一αD_n一2)， ② 继续用递推关系②递推，得 D_n一αD_n一1=β(D_n一1一αD_n一2)=β²(D_n一2一αD_n一3)=…=β^n一2(D₂一αD₁)，而D₂=(α+β)²一αβ，D₁=α+β， D_n一αD_n一1=β^n一2(D₂一αD₁)=βⁿ， ③ ③式递推得D_n=αD_n一1+βⁿ=α(αD_n一2+β^n一1)+βⁿ =…=αⁿ+α^n一1β+α^n一2β²+…+αβ^n一1+βⁿ．除了将①式变形得②式外，还可将①式改写成 D_n一βD_n一1=α(D_n一1一βD_n一2)． ④ 由④式递推可得 D_n一βD_n一1=αⁿ， ⑤ ③×β一⑤×α得 (β—α)D_n=βⁿ⁺¹+αⁿ⁺¹， β一α≠0时，有D_n=[*]=βⁿ+αβ^n一1+…+βα^n一1+αⁿ．

解析

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考研数学二

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